Исследовать функцию f(x) с помощью производной и построить график. Вариант 10 f(x) = (x-1)^2(2x+4)

Question

Вопрос:

Исследовать функцию f(x) с помощью производной и построить график. Вариант 10 f(x) = (x-1)^2(2x+4)

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

Исследование функции $f(x) = (x - 1)^2 (2x + 4)$. 1. **Область определения:** Функция определена на всей числовой прямой, $D(f) = (-\infty; +\infty)$. 2. **Раскроем скобки для удобства:** $f(x) = (x^2 - 2x + 1)(2x + 4) = 2x^3 + 4x^2 - 4x^2 - 8x + 2x + 4 = 2x^3 - 6x + 4$. 3. **Нахождение производной:** $f'(x) = (2x^3 - 6x + 4)' = 6x^2 - 6$. 4. **Критические точки:** Приравняем $f'(x)$ к нулю: $6x^2 - 6 = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x_1 = -1, x_2 = 1$. 5. **Промежутки монотонности:** - На $(-\infty; -1)$: $f'(x) > 0$ (функция возрастает). - На $(-1; 1)$: $f'(x) < 0$ (функция убывает). - На $(1; +\infty)$: $f'(x) > 0$ (функция возрастает). 6. **Экстремумы:** - $f(-1) = 2(-1)^3 - 6(-1) + 4 = -2 + 6 + 4 = 8$ (максимум: $(-1; 8)$). - $f(1) = 2(1)^3 - 6(1) + 4 = 2 - 6 + 4 = 0$ (минимум: $(1; 0)$). 7. **Точки пересечения с осями:** - С осью OY: $f(0) = 4$. Точка $(0; 4)$. - С осью OX: $2x^3 - 6x + 4 = 0$. При $x=1$ получили $0$, значит $(x-1)$ — множитель. Делим многочлен, получаем $(x-1)^2(2x+4)=0$. Корни: $x=1$ (касание) и $x=-2$. :::div .chart-container @chart-1:::

Исследовать функцию f(x) с помощью производной и построить график. Вариант 10 f(x) = (x-1)^2(2x+4)

Ответ ассистента

Другие решения