4. 1) \int_{-2}^{-1} \frac{dx}{(11 + 5x)^3}; 2) \int_{1}^{3} x \ln x dx.

Привет! Давай решим эти определенные интегралы. ### 1) Интеграл $\int_{-2}^{-1} \frac{dx}{(11 + 5x)^3}$ Используем метод замены переменной. Пусть $u = 11 + 5x$, тогда $du = 5dx$, откуда $dx = \frac{1}{5}du$. Найдем новые пределы интегрирования: - Если $x = -2$, то $u = 11 + 5(-2) = 11 - 10 = 1$. - Если $x = -1$, то $u = 11 + 5(-1) = 11 - 5 = 6$. Теперь перепишем интеграл: $\int_{1}^{6} \frac{1}{u^3} \cdot \frac{1}{5} du = \frac{1}{5} \int_{1}^{6} u^{-3} du = \frac{1}{5} \left[ \frac{u^{-2}}{-2} \right]_{1}^{6} = \frac{1}{5} \left[ -\frac{1}{2u^2} \right]_{1}^{6} = -\frac{1}{10} \left( \frac{1}{6^2} - \frac{1}{1^2} \right) = -\frac{1}{10} \left( \frac{1}{36} - 1 \right) = -\frac{1}{10} \left( -\frac{35}{36} \right) = \frac{35}{360} = \frac{7}{72}$. **Ответ: $\frac{7}{72}$** ### 2) Интеграл $\int_{1}^{3} x \ln x dx$ Используем формулу интегрирования по частям: $\int u dv = uv - \int v du$. Пусть $u = \ln x$, тогда $du = \frac{1}{x} dx$. Пусть $dv = x dx$, тогда $v = \frac{x^2}{2}$. $\int x \ln x dx = \frac{x^2}{2} \ln x - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} dx = \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{1}{2} \int x dx = \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{x^2}{4}$. Вычислим определенный интеграл: $\left[ \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{x^2}{4} \right]_{1}^{3} = \left( \frac{3^2}{2} \ln 3 - \frac{3^2}{4} \right) - \left( \frac{1^2}{2} \ln 1 - \frac{1^2}{4} \right) = \left( \frac{9}{2} \ln 3 - \frac{9}{4} \right) - \left( 0 - \frac{1}{4} \right) = \frac{9}{2} \ln 3 - \frac{9}{4} + \frac{1}{4} = \frac{9}{2} \ln 3 - \frac{8}{4} = \frac{9}{2} \ln 3 - 2$. **Ответ: $\frac{9}{2} \ln 3 - 2$**