26. Найти пределы, используя правило Лопиталя.

Привет! Давай решим эти пределы, используя правило Лопиталя. Напомню: если предел представляет собой неопределенность вида $\frac{0}{0}$ или $\frac{\infty}{\infty}$, то он равен пределу отношения производных числителя и знаменателя: $\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to c} \frac{f'(x)}{g'(x)}$. а) $\lim_{x \to -4} \frac{2x^2 + 6x - 8}{x + 4}$ Подставим $x = -4$: $\frac{2(-4)^2 + 6(-4) - 8}{-4+4} = \frac{32 - 24 - 8}{0} = \frac{0}{0}$. Применяем правило Лопиталя: $\lim_{x \to -4} \frac{(2x^2 + 6x - 8)'}{(x + 4)'} = \lim_{x \to -4} \frac{4x + 6}{1} = 4(-4) + 6 = -16 + 6 = -10$. б) $\lim_{x \to 0} (e^x - 1) \cdot \ln x$ Здесь $x \to 0$. При $x \to 0$ выражение $(e^x-1) \to 0$, а $\ln x \to -\infty$. Это неопределенность $0 \cdot \infty$. Преобразуем к $\frac{0}{0}$ или $\frac{\infty}{\infty}$, записав $\ln x$ как $\frac{\ln x}{1/(e^x-1)}$: $\lim_{x \to 0} \frac{\ln x}{(e^x - 1)^{-1}} = \lim_{x \to 0} \frac{(\ln x)'}{((e^x - 1)^{-1})'} = \lim_{x \to 0} \frac{1/x}{-(e^x-1)^{-2} \cdot e^x} = \lim_{x \to 0} \left( -\frac{(e^x-1)^2}{x \cdot e^x} \right)$. Используем эквивалентность $(e^x-1) \sim x$ при $x \to 0$: $\lim_{x \to 0} \left( -\frac{x^2}{x \cdot 1} \right) = \lim_{x \to 0} (-x) = 0$. в) $\lim_{x \to 0} \frac{4^x - 3^x}{x^3}$ Подставим $x=0$: $\frac{4^0 - 3^0}{0^3} = \frac{1-1}{0} = \frac{0}{0}$. Применяем правило Лопиталя: $\lim_{x \to 0} \frac{(4^x - 3^x)'}{(x^3)'} = \lim_{x \to 0} \frac{4^x \ln 4 - 3^x \ln 3}{3x^2}$. При $x \to 0$ числитель $\to \ln 4 - \ln 3 = \ln(4/3) \neq 0$, а знаменатель $\to 0$. Предел равен бесконечности ($\infty$). г) $\lim_{x \to 0} \frac{\text{tg}(\pi(1 + x/2))}{\ln(x + 1)}$ Подставим $x=0$: $\frac{\text{tg}(\pi)}{\ln(1)} = \frac{0}{0}$. Применяем правило Лопиталя: $\lim_{x \to 0} \frac{(\text{tg}(\pi + \pi x/2))'}{(\ln(x+1))'} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\cos^2(\pi + \pi x/2)} \cdot \pi/2}{\frac{1}{x+1}} = \lim_{x \to 0} \frac{\pi(x+1)}{2 \cos^2(\pi + \pi x/2)}$. При $x \to 0$: $\frac{\pi(0+1)}{2 \cos^2(\pi)} = \frac{\pi}{2 \cdot (-1)^2} = \frac{\pi}{2}$.