Задача № 3. Задана нормально распределенная случайная величина X своими параметрами a и σ.

Для нормально распределенной случайной величины $X$ с параметрами $a = 15$ и $\sigma = 3$ решаем задачу: ### 1. Плотность вероятности $f(x)$ Функция плотности вероятности нормального распределения имеет вид: $$f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-a)^2}{2\sigma^2}}$$ Подставим наши значения: $$f(x) = \frac{1}{3\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-15)^2}{18}}$$ График этой функции — это «колокол» Гаусса, симметричный относительно прямой $x = 15$. Максимум функции в точке $x = 15$ равен $\frac{1}{3\sqrt{2\pi}} \approx 0.133$. :::div .chart-container @chart-1::: ### 2. Вероятность попадания в интервал $(\alpha; \beta) = (13; 20)$ Используем формулу $P(\alpha < X < \beta) = \Phi\left(\frac{\beta - a}{\sigma}\right) - \Phi\left(\frac{\alpha - a}{\sigma}\right)$, где $\Phi(x)$ — функция Лапласа. 1. $z_1 = \frac{13 - 15}{3} = -0.67$ 2. $z_2 = \frac{20 - 15}{3} = 1.67$ Искомая вероятность: $P(13 < X < 20) = \Phi(1.67) - \Phi(-0.67) = \Phi(1.67) + \Phi(0.67)$. По таблице значений функции Лапласа: $\Phi(1.67) \approx 0.4525$, $\Phi(0.67) \approx 0.2486$. $P \approx 0.4525 + 0.2486 = 0.7011$. ### 3. Вероятность того, что $|X - a| < \delta$ Дано $\delta = 4$. Нужно найти $P(|X - 15| < 4)$, что равносильно $P(15-4 < X < 15+4) = P(11 < X < 19)$. 1. $z_1 = \frac{11 - 15}{3} = -1.33$ 2. $z_2 = \frac{19 - 15}{3} = 1.33$ Искомая вероятность: $P = \Phi(1.33) - \Phi(-1.33) = 2 \cdot \Phi(1.33)$. По таблице: $\Phi(1.33) \approx 0.4082$. $P \approx 2 \cdot 0.4082 = 0.8164$.