Найдите точку максимума функции y = (x + 8)^2 e^{3-x}.

Чтобы найти точку максимума функции $y = (x+8)^2 e^{3-x}$, нужно найти её производную и приравнять её к нулю. 1. Найдем производную функции, используя правило произведения $(uv)' = u'v + uv'$ и производную сложной функции: $y' = ((x+8)^2)' \cdot e^{3-x} + (x+8)^2 \cdot (e^{3-x})'$ $y' = 2(x+8) \cdot e^{3-x} + (x+8)^2 \cdot e^{3-x} \cdot (-1)$ 2. Вынесем общий множитель $e^{3-x}(x+8)$ за скобки: $y' = e^{3-x}(x+8) \cdot (2 - (x+8))$ $y' = e^{3-x}(x+8)(2 - x - 8)$ $y' = e^{3-x}(x+8)(-x - 6)$ $y' = -e^{3-x}(x+8)(x+6)$ 3. Приравняем производную к нулю: $-e^{3-x}(x+8)(x+6) = 0$ Так как экспонента $e^{3-x}$ всегда больше нуля, то: $(x+8)(x+6) = 0$ $x_1 = -8, x_2 = -6$ 4. Определим знаки производной на интервалах: - При $x < -8$ (например, $x = -9$): $y' = -( ext{+})(-)(- ) = -$ (функция убывает) - При $-8 < x < -6$ (например, $x = -7$): $y' = -( ext{+})(+)(-) = +$ (функция возрастает) - При $x > -6$ (например, $x = 0$): $y' = -( ext{+})(+)(+) = -$ (функция убывает) В точке $x = -8$ производная меняет знак с "-" на "+" (минимум). В точке $x = -6$ производная меняет знак с "+" на "-" (максимум). **Ответ: -6**