Вычислить интеграл от 0 до 1 arctg x dx.

Для вычисления определенного интеграла $\int_{0}^{1} \text{arctg} x \, dx$ воспользуемся методом интегрирования по частям по формуле $\int u \, dv = uv - \int v \, du$. 1. Обозначим: $u = \text{arctg} x \implies du = \frac{1}{1+x^2} dx$ $dv = dx \implies v = x$ 2. Применяем формулу: $\int_{0}^{1} \text{arctg} x \, dx = x \cdot \text{arctg} x \Big|_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{x}{1+x^2} \, dx$ 3. Вычисляем первое слагаемое: $1 \cdot \text{arctg} 1 - 0 \cdot \text{arctg} 0 = \frac{\pi}{4} - 0 = \frac{\pi}{4}$ 4. Вычисляем интеграл $\int_{0}^{1} \frac{x}{1+x^2} \, dx$: Сделаем замену $t = 1+x^2$, тогда $dt = 2x \, dx$ или $x \, dx = \frac{1}{2} dt$. $\int \frac{x}{1+x^2} \, dx = \frac{1}{2} \ln|1+x^2|$ Подставляем пределы: $\frac{1}{2} \ln(1+1^2) - \frac{1}{2} \ln(1+0^2) = \frac{1}{2} \ln 2 - \frac{1}{2} \ln 1 = \frac{1}{2} \ln 2 = \frac{1}{2} \ln 2$ 5. Итоговый результат: $\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \ln 2 = \frac{\pi}{4} - \ln(2^{1/2}) = \frac{\pi - 2\ln \sqrt{2}}{4}$ или можно привести к общему знаменателю: $\frac{\pi - \ln 4}{4}$. **Ответ:** $\frac{\pi - \ln 4}{4}$