f (x)= 1/3 x^3 + 1/2 x^2 +2 найди f’(x) возрастающую и убывающую

Для исследования функции $f(x) = \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 + 2$ на возрастание и убывание выполним следующие шаги: 1. Найдем производную функции: $f'(x) = (\frac{1}{3}x^3)' + (\frac{1}{2}x^2)' + (2)'$ $f'(x) = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 + \frac{1}{2} \cdot 2x + 0 = x^2 + x$ 2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $x^2 + x = 0$ $x(x + 1) = 0$ $x_1 = 0$, $x_2 = -1$ 3. Определим промежутки возрастания и убывания, используя метод интервалов для $f'(x) = x(x + 1)$: - На интервале $(-\infty; -1)$: возьмем $x = -2$, тогда $f'(-2) = (-2)^2 + (-2) = 4 - 2 = 2 > 0$ (функция возрастает). - На интервале $(-1; 0)$: возьмем $x = -0.5$, тогда $f'(-0.5) = (-0.5)^2 + (-0.5) = 0.25 - 0.5 = -0.25 < 0$ (функция убывает). - На интервале $(0; +\infty)$: возьмем $x = 1$, тогда $f'(1) = 1^2 + 1 = 2 > 0$ (функция возрастает). **Ответ:** Функция возрастает на промежутках $(-\infty; -1]$ и $[0; +\infty)$. Функция убывает на промежутке $[-1; 0]$.