Вариант 24 Задача 1 Объём конуса равен 48. Через середину высоты конуса проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём конуса, отсекаемого от данного конуса проведённой плоскостью.

### Задача 1 Пусть $V_1$ — объём исходного конуса, $V_2$ — объём отсекаемого конуса. 1. Так как плоскость проведена через середину высоты, то высота малого конуса $h_2$ равна половине высоты большого конуса $h_1$: $h_2 = 0,5 h_1$. 2. Поскольку малый конус подобен большому (углы при вершине и основании одинаковы), отношение их линейных размеров (радиусов и высот) равно коэффициенту подобия $k = \frac{h_2}{h_1} = 0,5$. 3. Отношение объёмов подобных тел равно кубу коэффициента подобия: $\frac{V_2}{V_1} = k^3 = (0,5)^3 = 0,125$. 4. Находим искомый объём: $V_2 = V_1 \cdot 0,125 = 48 \cdot 0,125 = 6$. **Ответ: 6** ### Задача 2 Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле $S_{бок} = 2\pi rh$. 1. Площадь боковой поверхности первого цилиндра: $S_1 = 2\pi \cdot 5 \cdot 9 = 90\pi$. 2. Площадь боковой поверхности второго цилиндра: $S_2 = 2\pi \cdot 2 \cdot 5 = 20\pi$. 3. Ищем отношение: $\frac{S_1}{S_2} = \frac{90\pi}{20\pi} = \frac{90}{20} = 4,5$. **Ответ: 4,5** ### Задача 3 1. Уровень воды поднялся в 2 раза. Это значит, что объём воды вместе с деталью стал в 2 раза больше исходного объёма воды. Так как бак цилиндрический, объём пропорционален высоте уровня воды. 2. Начальный объём воды $V_{воды} = 30$ л. 3. Новый объём (вода + деталь) равен $30 \cdot 2 = 60$ л. 4. Объём детали равен разности нового объёма и исходного: $V_{детали} = 60 - 30 = 30$ л. 5. Переводим в кубические сантиметры: $30 \text{ л} \cdot 1000 = 30000$ см$^3$. **Ответ: 30000**