221. 10 tg(πx) + ctg(πx) = 11; 222. 3 tg(πx) + 5 ctg(πx) + 8 = 0

Давай решим уравнения. Пусть $t = \operatorname{tg}(\pi x)$, тогда $\operatorname{ctg}(\pi x) = \frac{1}{t}$. **Решение уравнения 221:** $10t + \frac{1}{t} = 11$ $10t^2 - 11t + 1 = 0$ Корни квадратного уравнения: $t_1 = 1, t_2 = 0,1$. 1) $\operatorname{tg}(\pi x) = 1 \implies \pi x = \frac{\pi}{4} + \pi k \implies x = \frac{1}{4} + k$, где $k \in \mathbb{Z}$. 2) $\operatorname{tg}(\pi x) = 0,1 \implies \pi x = \operatorname{arctg}(0,1) + \pi n \implies x = \frac{\operatorname{arctg}(0,1)}{\pi} + n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Наибольший отрицательный корень: Для серии $x = \frac{1}{4} + k$ (при $k=-1$): $x = -0,75$. Для серии $x = \frac{\operatorname{arctg}(0,1)}{\pi} + n$ (при $n=-1$): $x \approx \frac{0,0997}{3,14} - 1 \approx -0,968$. Сравнивая, наибольший отрицательный корень уравнения 221 — $-0,75$. **Решение уравнения 222:** $3t + \frac{5}{t} + 8 = 0$ $3t^2 + 8t + 5 = 0$ Корни квадратного уравнения: $t_1 = -1, t_2 = -\frac{5}{3}$. 1) $\operatorname{tg}(\pi x) = -1 \implies \pi x = -\frac{\pi}{4} + \pi k \implies x = -\frac{1}{4} + k$. 2) $\operatorname{tg}(\pi x) = -\frac{5}{3} \implies \pi x = -\operatorname{arctg}(\frac{5}{3}) + \pi n \implies x = -\frac{\operatorname{arctg}(1,66)}{\pi} + n$. Наибольший отрицательный корень: Для серии $x = -0,25 + k$ (при $k=0$): $x = -0,25$. Для серии $x \approx -0,32 + n$ (при $n=0$): $x \approx -0,32$. Сравнивая, наибольший отрицательный корень уравнения 222 — $-0,25$.