Найдите производную функции (1-4): 1. y = (3x - 8)^10.

Для нахождения производных будем использовать основные правила дифференцирования и таблицу производных. ### Задания 1-4: Найдите производную функции 1. $y = (3x - 8)^{10}$ $y' = 10(3x - 8)^9 \cdot (3x - 8)' = 10(3x - 8)^9 \cdot 3 = 30(3x - 8)^9$ 2. а) $y = \sin(2x - 1)$ $y' = \cos(2x - 1) \cdot (2x - 1)' = 2\cos(2x - 1)$ б) $y = \cos(3x + 4)$ $y' = -\sin(3x + 4) \cdot (3x + 4)' = -3\sin(3x + 4)$ 3. а) $y = \operatorname{tg}(4x - 2)$ $y' = \frac{1}{\cos^2(4x - 2)} \cdot (4x - 2)' = \frac{4}{\cos^2(4x - 2)}$ б) $y = \operatorname{ctg}(5x + 5)$ $y' = -\frac{1}{\sin^2(5x + 5)} \cdot (5x + 5)' = -\frac{5}{\sin^2(5x + 5)}$ 4. а) $y = e^{3x+4}$ $y' = e^{3x+4} \cdot (3x + 4)' = 3e^{3x+4}$ б) $y = 4^{6x-1}$ $y' = 4^{6x-1} \cdot \ln 4 \cdot (6x - 1)' = 6 \ln 4 \cdot 4^{6x-1}$ в) $y = \log_6(9x + 4)$ $y' = \frac{1}{(9x + 4) \ln 6} \cdot (9x + 4)' = \frac{9}{(9x + 4) \ln 6}$ г) $y = \ln(2x - 5)$ $y' = \frac{1}{2x - 5} \cdot (2x - 5)' = \frac{2}{2x - 5}$ д) $y = \sqrt[5]{x}$ $y = x^{1/5} \Rightarrow y' = \frac{1}{5}x^{-4/5} = \frac{1}{5\sqrt[5]{x^4}}$ ### Задание 5: Найдите $f'(3)$, если $f(x) = \sqrt{-x^2 + 4x - 2}$ $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{-x^2 + 4x - 2}} \cdot (-2x + 4) = \frac{-x + 2}{\sqrt{-x^2 + 4x - 2}}$ $f'(3) = \frac{-3 + 2}{\sqrt{-9 + 12 - 2}} = \frac{-1}{\sqrt{1}} = -1$ ### Задание 6: Найдите $f'(1)$, если $f(x) = (3 - 2x)\sqrt{5 - x}$ Используем формулу произведения $(uv)' = u'v + uv'$: $f'(x) = (3 - 2x)' \cdot \sqrt{5 - x} + (3 - 2x) \cdot (\sqrt{5 - x})'$ $f'(x) = -2\sqrt{5 - x} + (3 - 2x) \cdot \frac{-1}{2\sqrt{5 - x}}$ При $x = 1$: $f'(1) = -2\sqrt{4} + (3 - 2) \cdot \frac{-1}{2\sqrt{4}} = -2 \cdot 2 + 1 \cdot \frac{-1}{2 \cdot 2} = -4 - 0,25 = -4,25$ ### Задание 7: Найдите $f'(5)$, если $f(x) = \frac{\sqrt{x^2 - 16}}{x - 3}$ Используем формулу частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$: $u = \sqrt{x^2 - 16} \Rightarrow u' = \frac{2x}{2\sqrt{x^2 - 16}} = \frac{x}{\sqrt{x^2 - 16}}$ $v = x - 3 \Rightarrow v' = 1$ $f'(x) = \frac{\frac{x}{\sqrt{x^2 - 16}} \cdot (x - 3) - \sqrt{x^2 - 16} \cdot 1}{(x - 3)^2}$ При $x = 5$: $f'(5) = \frac{\frac{5}{\sqrt{25 - 16}} \cdot (5 - 3) - \sqrt{25 - 16}}{(5 - 3)^2} = \frac{\frac{5}{3} \cdot 2 - 3}{4} = \frac{\frac{10}{3} - 3}{4} = \frac{\frac{1}{3}}{4} = \frac{1}{12}$