Найти интервалы возрастания и убывания функции: 1) y = 2x^3 + 3x^2 - 2; 2) y = 2/3 x^3 - x^2 - 4x + 5;

Привет! Давай разберем эти задачи по математическому анализу. Это классические задания на исследование функций с помощью производной. ### 956. Интервалы монотонности Ищем производную $y'$ и определяем её знак. 1) $y = 2x^3 + 3x^2 - 2 \Rightarrow y' = 6x^2 + 6x = 6x(x + 1)$. $y' > 0$ при $x \in (-\infty; -1) \cup (0; +\infty)$ (возрастает), $y' < 0$ при $x \in (-1; 0)$ (убывает). 2) $y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5 \Rightarrow y' = 2x^2 - 2x - 4 = 2(x^2 - x - 2) = 2(x-2)(x+1)$. $y' > 0$ при $x \in (-\infty; -1) \cup (2; +\infty)$ (возрастает), $y' < 0$ при $x \in (-1; 2)$ (убывает). 3) $y = \frac{3}{x} - 1 \Rightarrow y' = -\frac{3}{x^2}$. $y' < 0$ для всех $x \neq 0$. Функция убывает на $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$. 4) $y = \frac{2}{x-3} \Rightarrow y' = -\frac{2}{(x-3)^2}$. $y' < 0$ для всех $x \neq 3$. Функция убывает на $(-\infty; 3)$ и $(3; +\infty)$. ### 957. Стационарные точки ($y' = 0$) 1) $y' = 4x^3 - 12x^2 - 16x = 4x(x^2 - 3x - 4) = 4x(x-4)(x+1) = 0 \Rightarrow x_1=0, x_2=4, x_3=-1$. 2) $y' = 16x^3 - 4x = 4x(4x^2 - 1) = 4x(2x-1)(2x+1) = 0 \Rightarrow x_1=0, x_2=0.5, x_3=-0.5$. 3) $y' = \frac{1}{3} + \frac{12}{x^2} = 0$. Уравнение $\frac{1}{3} = -\frac{12}{x^2} \Rightarrow x^2 = -36$. Решений нет. 4) $y' = -2\sin 2x - 2\sin x = -4\sin x \cos x - 2\sin x = -2\sin x (2\cos x + 1) = 0$. $\sin x = 0 \Rightarrow x = \pi n$; $\cos x = -0.5 \Rightarrow x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$. ### 958. Точки экстремума 1) $y = x^3 - 4x^2 \Rightarrow y' = 3x^2 - 8x = x(3x - 8)$. Критические точки: $0, \frac{8}{3}$. При переходе через $0$ производная меняет знак с $+$ на $-$, значит, $x_{max} = 0$. При переходе через $\frac{8}{3}$ — с $-$ на $+$, $x_{min} = \frac{8}{3}$. 2) $y = 3x^4 - 4x^3 \Rightarrow y' = 12x^3 - 12x^2 = 12x^2(x-1)$. $x=1$ — точка минимума ($y'$ меняет знак с $-$ на $+$). $x=0$ — критическая точка, но не экстремум. ### 959. Экстремумы и их значения 1) $y = x^5 - 2.5x^2 + 3 \Rightarrow y' = 5x^4 - 5x = 5x(x^3 - 1) = 5x(x-1)(x^2+x+1) = 0 \Rightarrow x=0, x=1$. При $x=0$: $y=3$ (максимум, так как $y'$ меняется с $+$ на $-$, если проверить знаки). При $x=1$: $y=1.5$ (минимум). 2) $y = 0.2x^5 - 4x^2 - 3 \Rightarrow y' = x^4 - 8x = x(x^3 - 8) = x(x-2)(x^2+2x+4) = 0 \Rightarrow x=0, x=2$. При $x=0$: $y=-3$ (максимум). При $x=2$: $y = 0.2(32) - 4(4) - 3 = 6.4 - 16 - 3 = -12.6$ (минимум). ### 960. Графики (краткий план) 1) $y = \frac{1}{3}x^3 + 3x^2$. $y' = x^2 + 6x = x(x+6)$. Точки экстремума: $x=0$ ($y=0$, min), $x=-6$ ($y=36$, max). 2) $y = -\frac{x^4}{4} + x^2$. $y' = -x^3 + 2x = -x(x^2 - 2)$. Экстремумы: $x=0$ ($y=0$, min), $x=\pm\sqrt{2}$ ($y=1$, max). ### 961. Наибольшее/наименьшее на отрезке 1) $y = 3x^2 - 6x + 5$ на $[0; 3]$. $y' = 6x - 6 = 0 \Rightarrow x=1$. $y(0)=5, y(1)=2, y(3)=3(9)-18+5=14$. Ответ: $min=2, max=14$. 2) $y = 0.25x^4 - \frac{2}{3}x^3 - 1.5x^2 + 2$ на $[-2; 4]$. $y' = x^3 - 2x^2 - 3x = x(x^2 - 2x - 3) = x(x-3)(x+1) = 0 \Rightarrow x=0, x=3, x=-1$. Надо вычислить значения во всех точках: $y(-2), y(-1), y(0), y(3), y(4)$ и выбрать наибольшее/наименьшее.