Билет №2. 1.Параллелограмм. Признаки параллелограмма (доказать один из признаков).

Привет! Давай разберем твой билет по геометрии. ### 1. Параллелограмм Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. **Признаки параллелограмма:** 1. Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то это параллелограмм. 2. Если противоположные стороны попарно равны, то это параллелограмм. 3. Если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то это параллелограмм. *Доказательство (Признак 2):* Пусть $AB=CD$ и $BC=AD$. Проведем диагональ $AC$. $\triangle ABC = \triangle CDA$ (по трем сторонам: $AB=CD$, $BC=AD$, $AC$-общая). Тогда $\angle BAC = \angle ACD$ и $\angle BCA = \angle CAD$. Так как накрест лежащие углы равны, то $AB \parallel CD$ и $BC \parallel AD$. Значит, $ABCD$ — параллелограмм. ### 2. Косинус острого угла Косинус острого угла — это отношение прилежащего катета к гипотенузе. Значения: - $\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ - $\cos 45^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ - $\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$ ### 3. Решение задачи Дано: $ABCD$ — параллелограмм, $BH$ — высота к $CD$, $H$ — середина $CD$, $\angle HBC = 30^{\circ}$, $AB = 12$ см. 1. В $\triangle BHC$ ($\angle H = 90^{\circ}$): так как $\angle HBC = 30^{\circ}$, то $\angle C = 60^{\circ}$. 2. Так как $H$ — середина $CD$ и $CD=AB=12$ см, то $CH = 6$ см. 3. В прямоугольном $\triangle BHC$: $\cos 60^{\circ} = \frac{CH}{BC} \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{6}{BC} \Rightarrow BC = 12$ см. 4. Периметр $P = 2 \cdot (AB + BC) = 2 \cdot (12 + 12) = 48$ см. **Ответ: 48 см.** ### 4. Решение задачи Стороны треугольника: $5$ см, $8$ см, $7$ см. По теореме о средней линии, стороны треугольника, образованного серединами сторон, в два раза меньше соответствующих сторон исходного треугольника. Периметр нового треугольника равен половине периметра исходного: $P = \frac{5 + 8 + 7}{2} = \frac{20}{2} = 10$ см. **Ответ: 10 см.**