В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AH и BK. Докажите, что углы АНК и АВК равны.

Для доказательства равенства углов $\angle AHK$ и $\angle ABK$ воспользуемся свойством точек, лежащих на одной окружности. 1. Рассмотрим четырехугольник $ABKH$. В нем: - $\angle AHB = 90^\circ$ (так как $AH$ — высота), - $\angle AKB = 90^\circ$ (так как $BK$ — высота). 2. Так как углы $\angle AHB$ и $\angle AKB$ опираются на отрезок $AB$ и равны $90^\circ$, точки $H$ и $K$ лежат на окружности с диаметром $AB$. Следовательно, точки $A, B, K, H$ лежат на одной окружности. 3. В этой окружности углы $\angle AHK$ и $\angle ABK$ являются вписанными углами, которые опираются на одну и ту же дугу $AK$. 4. По свойству вписанных углов, опирающихся на одну и ту же дугу, следует, что $\angle AHK = \angle ABK$. Что и требовалось доказать.