Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает её боковые стороны AB и CD в точках K и N соответственно. Найдите длину отрезка KN, если AD = 45, BC = 15, CN = 12, ND = 18.

Пусть основания трапеции $AD = 45$ и $BC = 15$. Прямая $KN$ параллельна основаниям, где $K$ лежит на $AB$, а $N$ — на $CD$. Так как $KN \parallel AD \parallel BC$, то по теореме Фалеса (или свойству пропорциональных отрезков) отношения длин на боковых сторонах равны: $$\frac{CN}{ND} = \frac{BK}{KA}$$ Нам известны $CN = 12$ и $ND = 18$. Найдем отношение $CN / CD$: $$CD = CN + ND = 12 + 18 = 30$$ $$\frac{CN}{CD} = \frac{12}{30} = \frac{2}{5}$$ Длину отрезка, параллельного основаниям трапеции и делящего боковые стороны в отношении $m:n$ (где $m$ — отрезок, примыкающий к основанию $BC$, $n$ — к $AD$), можно найти по формуле: $$KN = \frac{AD \cdot BK + BC \cdot KA}{AB} = \frac{AD \cdot CN + BC \cdot ND}{CD}$$ Подставим значения: $$KN = \frac{45 \cdot 12 + 15 \cdot 18}{30}$$ $$KN = \frac{540 + 270}{30}$$ $$KN = \frac{810}{30} = 27$$ **Ответ: 27**