Найдите промежутки возрастания и убывания, точки экстремума функции f(x) = 3x^2 - 12x + 1,2

15. Найдем производную функции: $f'(x) = (3x^2 - 12x + 1,2)' = 6x - 12$. Найдем критические точки: $6x - 12 = 0 \Rightarrow 6x = 12 \Rightarrow x = 2$. Так как производная на промежутке $(-\infty; 2)$ отрицательна ($f'(x) < 0$), а на $(2; +\infty)$ положительна ($f'(x) > 0$), то функция убывает на $(-\infty; 2]$ и возрастает на $[2; +\infty)$. Точка минимума: $x = 2$. 16. Объём шара: $V = \frac{4}{3}\pi R^3 = 36\pi$. $\frac{4}{3}R^3 = 36 \Rightarrow R^3 = 27 \Rightarrow R = 3$ дм. Площадь поверхности: $S = 4\pi R^2 = 4 \cdot \pi \cdot 3^2 = 36\pi$ см$^2$. 17. $\log_3(5x - 2) > 2$. ОДЗ: $5x - 2 > 0 \Rightarrow x > 0,4$. Так как основание логарифма $3 > 1$, знак сохраняется: $5x - 2 > 3^2 \Rightarrow 5x - 2 > 9 \Rightarrow 5x > 11 \Rightarrow x > 2,2$. С учетом ОДЗ: $x \in (2,2; +\infty)$. 18. $S_{осн} = 16$ см$^2 \Rightarrow a = \sqrt{16} = 4$ см. Диагональ квадрата $d = a\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$. Расстояние от центра до вершины основания: $d/2 = 2\sqrt{2}$. Высота пирамиды $H = \sqrt{b^2 - (d/2)^2} = \sqrt{(\sqrt{33})^2 - (2\sqrt{2})^2} = \sqrt{33 - 8} = \sqrt{25} = 5$ см. $V = \frac{1}{3} S_{осн} H = \frac{1}{3} \cdot 16 \cdot 5 = \frac{80}{3} = 26\frac{2}{3}$ см$^3$. 19. $S_{бок} = \pi R L = 180\pi$, где $L = 15$ см. $15\pi R = 180\pi \Rightarrow R = 12$ см. Высота конуса $H = \sqrt{L^2 - R^2} = \sqrt{15^2 - 12^2} = \sqrt{225 - 144} = \sqrt{81} = 9$ см. $V = \frac{1}{3}\pi R^2 H = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 144 \cdot 9 = 432\pi$ см$^3$. 20. $8\cos^2 x - 10\cos x - 7 = 0$. Пусть $t = \cos x, |t| \le 1$. $8t^2 - 10t - 7 = 0$. Дискриминант $D = (-10)^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-7) = 100 + 224 = 324 = 18^2$. $t_1 = \frac{10 + 18}{16} = \frac{28}{16} = 1,75$ (не подходит, $|t|>1$). $t_2 = \frac{10 - 18}{16} = -\frac{8}{16} = -0,5$. $\cos x = -0,5$. $x = \pm \arccos(-0,5) + 2\pi n = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.