В угол, равный 60°, вписаны две окружности, касающиеся друг друга внешним образом. Радиус меньшей окружности равен 6. Найдите радиус большей окружности.

Для решения задачи выполним построение и вычисления. ### Построение рисунка 1. Нарисуй угол с вершиной $O$ и величиной $60^\circ$. 2. Проведи биссектрису этого угла. 3. Впиши две окружности так, чтобы их центры $O_1$ и $O_2$ лежали на биссектрисе. 4. Обозначь точки касания окружностей со сторонами угла как $A$ и $B$ для меньшей окружности, и $C$ и $D$ для большей. 5. Радиусы проведены перпендикулярно сторонам угла (радиусы $r$ и $R$). ### Решение Пусть $r = 6$ — радиус меньшей окружности, $R$ — искомый радиус большей окружности. 1. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный вершиной угла $O$, центром меньшей окружности $O_1$ и точкой касания $A$ на стороне угла. Угол при вершине равен $30^\circ$ (половина от $60^\circ$). Тогда расстояние от вершины до центра меньшей окружности: $OO_1 = \frac{r}{\sin 30^\circ} = \frac{6}{0,5} = 12$. 2. Аналогично для большей окружности с центром $O_2$: $OO_2 = \frac{R}{\sin 30^\circ} = \frac{R}{0,5} = 2R$. 3. Так как окружности касаются друг друга внешним образом, расстояние между их центрами $O_1O_2 = R + r = R + 6$. 4. С другой стороны, $OO_2 = OO_1 + O_1O_2$. $2R = 12 + (R + 6)$ $2R = R + 18$ $R = 18$. **Ответ:** Радиус большей окружности равен 18.