27. cosx · sin3x - cos5x · sin7x = 1/2 sin4x

Для решения уравнения $\cos x \cdot \sin 3x - \cos 5x \cdot \sin 7x = \frac{1}{2} \sin 4x$ воспользуемся формулой произведения синуса на косинус: $\sin \alpha \cdot \cos \beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta))$. 1. Применим формулу к каждому слагаемому: - $\cos x \cdot \sin 3x = \sin 3x \cdot \cos x = \frac{1}{2}(\sin(3x + x) + \sin(3x - x)) = \frac{1}{2}(\sin 4x + \sin 2x)$ - $\cos 5x \cdot \sin 7x = \sin 7x \cdot \cos 5x = \frac{1}{2}(\sin(7x + 5x) + \sin(7x - 5x)) = \frac{1}{2}(\sin 12x + \sin 2x)$ 2. Подставим в уравнение: $\frac{1}{2}(\sin 4x + \sin 2x) - \frac{1}{2}(\sin 12x + \sin 2x) = \frac{1}{2} \sin 4x$ 3. Умножим обе части на 2 и раскроем скобки: $\sin 4x + \sin 2x - \sin 12x - \sin 2x = \sin 4x$ 4. Приведем подобные слагаемые: $\sin 4x - \sin 12x = \sin 4x$ $-\sin 12x = 0$ $\sin 12x = 0$ 5. Решим простейшее уравнение: $12x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$ $x = \frac{\pi k}{12}, k \in \mathbb{Z}$ **Ответ:** $x = \frac{\pi k}{12}, k \in \mathbb{Z}$