№1. В треугольнике два угла равны 36° и 73°. Найдите его третий угол.

Привет! Давай разберем твою контрольную работу по геометрии. **№1.** Сумма углов треугольника равна 180°. Найдем третий угол: $180^\circ - (36^\circ + 73^\circ) = 180^\circ - 109^\circ = 71^\circ$. **Ответ:** 71°. **№2.** Рассмотрим треугольники ABE и DCE. 1. $AE = ED$ (по условию). 2. $\angle A = \angle D$ (по условию). 3. $\angle AEB = \angle DEC$ (как вертикальные углы при пересечении отрезков AD и BC). Следовательно, $\triangle ABE = \triangle DCE$ по стороне и двум прилежащим к ней углам (второй признак равенства треугольников). **№3.** В $\triangle ABC$ проведена биссектриса $AL$. Пусть $\angle BAL = \angle CAL = x$. Тогда $\angle A = 2x$. Рассмотрим $\triangle ALC$. Сумма его углов 180°: $\angle CAL + \angle ALC + \angle C = 180^\circ$ $x + 78^\circ + \angle C = 180^\circ \Rightarrow \angle C = 102^\circ - x$. В $\triangle ABC$ сумма углов 180°: $\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$ $2x + 52^\circ + (102^\circ - x) = 180^\circ$ $x + 154^\circ = 180^\circ \Rightarrow x = 26^\circ$. Тогда $\angle C = 102^\circ - 26^circ = 76^\circ$. **Ответ:** 76°. **№4.** Так как $\angle 1 = \angle 2$ (накрест лежащие при прямых n и m и секущей AC), значит, прямые $n \parallel m$. Углы 3 и 4 являются смежными, но по рисунку и условию мы видим, что угол 3 и угол, вертикальный углу 4, связаны параллельностью. Если $n \parallel m$, то $\angle 3 + \angle 4 = 180^\circ$ (как внутренние односторонние при параллельных прямых и секущей BC). $120^\circ + \angle 4 = 180^\circ \Rightarrow \angle 4 = 60^\circ$. **Ответ:** 60°. **№5.** В равнобедренном $\triangle ABC$ ($AB=BC$), $\angle B = 120^\circ$. Углы при основании равны: $\angle A = \angle C = (180^\circ - 120^\circ) / 2 = 30^\circ$. Высота $AH$ проведена из вершины $A$ к продолжению стороны $BC$ (так как угол $B$ тупой). В прямоугольном треугольнике $AHB$: $\angle AHB = 90^\circ$, $\angle ABH = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$, значит $\angle BAH = 30^\circ$. Против угла 30° лежит катет $BH$, равный половине гипотенузы $AB$. По теореме Пифагора $AH^2 + BH^2 = AB^2$. Пусть $AB = x$, тогда $BH = x/2$. $5^2 + (x/2)^2 = x^2 \Rightarrow 25 = 3x^2/4 \Rightarrow x^2 = 100/3 \Rightarrow AB = 10/\sqrt{3}$. Далее по теореме синусов для $\triangle ABC$: $AC / \sin(120^\circ) = AB / \sin(30^\circ)$. $AC / (\sqrt{3}/2) = (10/\sqrt{3}) / (1/2) \Rightarrow AC = 10$. **Ответ:** 10.