8^{x + 2/3} - 9 * 4^{x + 1/2} + 13 * 2^x - 13

Для решения неравенства сделаем замену $t = 2^x$, где $t > 0$. Перепишем выражение, учитывая, что: $8^{x + \frac{2}{3}} = 2^{3(x + \frac{2}{3})} = 2^{3x+2} = 4 \cdot (2^x)^3 = 4t^3$ $4^{x + \frac{1}{2}} = 2^{2(x + \frac{1}{2})} = 2^{2x+1} = 2 \cdot (2^x)^2 = 2t^2$ $2^{x+1} = 2t$ Подставим в неравенство: $\frac{4t^3 - 9 \cdot 2t^2 + 13t - 13}{2t^2 - 9t + 4} \leq 2t - \frac{1}{t-2} + \frac{3}{2t-1}$ Разложим знаменатель левой дроби: $2t^2 - 9t + 4 = 2(t-4)(t-0.5) = (t-4)(2t-1)$ Преобразуем числитель левой части: $4t^3 - 18t^2 + 13t - 13 = (4t^3 - 18t^2 + 8t) + (5t - 13) = 2t(2t^2-9t+4) + 5t - 13$ Тогда левая часть примет вид: $2t + \frac{5t-13}{(t-4)(2t-1)}$ Неравенство: $2t + \frac{5t-13}{(t-4)(2t-1)} \leq 2t - \frac{1}{t-2} + \frac{3}{2t-1}$ $\frac{5t-13}{(t-4)(2t-1)} + \frac{1}{t-2} - \frac{3}{2t-1} \leq 0$ Приведем к общему знаменателю $(t-4)(2t-1)(t-2)$: $\frac{(5t-13)(t-2) + (t-4)(2t-1) - 3(t-4)(t-2)}{(t-4)(2t-1)(t-2)} \leq 0$ Раскроем скобки в числителе: $(5t^2 - 23t + 26) + (2t^2 - 9t + 4) - 3(t^2 - 6t + 8) = 5t^2 - 23t + 26 + 2t^2 - 9t + 4 - 3t^2 + 18t - 24 = 4t^2 - 14t + 6 = 2(2t^2 - 7t + 3) = 2(2t-1)(t-3)$ Итоговое неравенство: $\frac{2(2t-1)(t-3)}{(t-4)(2t-1)(t-2)} \leq 0$ Сокращаем на $(2t-1)$ (при условии $t \neq 0.5$): $\frac{2(t-3)}{(t-4)(t-2)} \leq 0$ Метод интервалов для $t$: Корни числителя: $t=3$. Корни знаменателя: $t=2, t=4$. Знаки на интервалах $(-\infty, 2), (2, 3], [3, 4), (4, +\infty)$: $(-), (+), (-), (+)$. Нам нужны интервалы, где выражение $\leq 0$: $(-\infty, 2) \cup [3, 4)$. Учитывая $t = 2^x > 0$: 1) $2^x < 2 \Rightarrow x < 1$ 2) $3 \leq 2^x < 4 \Rightarrow \log_2 3 \leq x < 2$ Также учитываем ОДЗ: $t \neq 0.5 (x \neq -1)$, $t \neq 2 (x \neq 1)$, $t \neq 4 (x \neq 2)$. **Ответ: $x \in (-\infty, -1) \cup (-1, 1) \cup [\log_2 3, 2)$.**