Даны окружность с центром O радиуса 5 см и точка M.

### Решение заданий: **№ 1.** Рассмотрим треугольник, образованный центром окружности (O), точкой M и точкой касания (назовем её A). Это прямоугольный треугольник, так как радиус перпендикулярен касательной. $∠OAM = 90^°$. Гипотенуза $OM = 10$, катет $OA = 5$ (радиус). $∠AMO = ∠OMA$ (половина угла между касательными). $∠OMA = ∠OAM / OM = 5 / 10 = 0.5$ (синус угла). Угол, синус которого равен 0,5, составляет $30^°$. Значит, искомый угол равен $2 imes 30^° = 60^°$. **№ 2.** В окружности $∠KOL = 160^°$. Треугольник $KOL$ равнобедренный ($OK=OL=R$), значит $∠OKL = ∠OLK = (180^° - 160^°) / 2 = 10^°$. Линия $LM$ — касательная, поэтому $∠OLM = 90^°$. Тогда $∠KLM = ∠OLM - ∠OLK = 90^° - 10^° = 80^°$. **№ 3.** При осевой симметрии расстояния между точками сохраняются. Следовательно, длина отрезка $A_1C_1$ равна длине отрезка $AC$, а $A_1C = AC_1 = AC$. В условиях задачи данные $BA = 44$ и $BC = 2,5$ не позволяют однозначно вычислить длину $AC$ без знания угла $∠ABC$, поэтому ответ выражается через сторону $AC$. **№ 4.** В прямоугольном треугольнике ($S=90^°$) гипотенуза $RQ$ является диаметром описанной окружности. $∠R = 60^°$, значит $∠Q = 30^°$. $RQ = RS / ∠R(60^°) = 8 / 0,5 = 16$. Радиус $R = RQ / 2 = 16 / 2 = 8$. **№ 5.** $∠LKM = (180^° - 100^°) / 2 = 40^°$ (в равнобедренном $ riangle KLM$). Центральный угол $∠LOM$ опирается на ту же дугу, что и вписанный $∠LKM$. $∠LOM = 2 imes 40^° = 80^°$. **№ 6.** В равностороннем треугольнике $O$ является центром, откуда $OA=OB=OC$ (радиусы). Стороны $AB=BC=AC$. Все три треугольника $ riangle ABO$, $ riangle BCO$, $ riangle ACO$ имеют стороны $(R, R, a)$, где $R$ — радиус, $a$ — сторона треугольника. По трем сторонам они равны. **№ 7.** Радиус $R^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169$. Для хорды $SD$ с расстоянием 5: $(SD / 2)^2 = 169 - 5^2 = 169 - 25 = 144$. $SD / 2 = 12$, значит $SD = 24$.