Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1, 2. Площадь поверхности параллелепипеда равна 16. Найдите его диагональ.

Привет! Давай разберем задачи по очереди. Все они основаны на свойствах прямоугольного параллелепипеда. Пусть измерения параллелепипеда (ребра, выходящие из одной вершины) равны $a, b, c$. Тогда: - Площадь поверхности: $S = 2(ab + bc + ac)$ - Объем: $V = abc$ - Диагональ: $d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$ ### Решения: **1) Ребра $a=1, b=2$. $S=16$.** Найдем $c$: $16 = 2(1\cdot2 + 2c + 1c) \Rightarrow 8 = 2 + 3c \Rightarrow 3c = 6 \Rightarrow c = 2$. Диагональ $d = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$. **Ответ: 3.** **2) $S_{грани} = 12$, ребро перпендикулярное грани равно 4.** Это значит $ab = 12$ и $c = 4$ (или любая другая комбинация). Объем $V = S_{грани} \cdot c = 12 \cdot 4 = 48$. **Ответ: 48.** **3) $V = 60$, $S_{грани} = 12$.** $V = S_{грани} \cdot c \Rightarrow 60 = 12 \cdot c \Rightarrow c = 5$. **Ответ: 5.** **4) Ребра 4, 6, 9.** Объем $V = 4 \cdot 6 \cdot 9 = 216$. Куб равновелик параллелепипеду, значит $a_{куба}^3 = 216 \Rightarrow a_{куба} = 6$. **Ответ: 6.** **5) Ребра 2, 3. $V=36$.** $V = a \cdot b \cdot c \Rightarrow 36 = 2 \cdot 3 \cdot c \Rightarrow 36 = 6c \Rightarrow c = 6$. Диагональ $d = \sqrt{2^2 + 3^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7$. **Ответ: 7.** **6) Ребра 1, 2, 3.** $S = 2(1\cdot2 + 2\cdot3 + 1\cdot3) = 2(2 + 6 + 3) = 2(11) = 22$. **Ответ: 22.** **7) Ребра 1, 2. $V=6$.** $V = a \cdot b \cdot c \Rightarrow 6 = 1 \cdot 2 \cdot c \Rightarrow c = 3$. $S = 2(1\cdot2 + 2\cdot3 + 1\cdot3) = 2(2 + 6 + 3) = 22$. **Ответ: 22.** **8) Объем многогранника $AD A_1 B C B_1$.** Это пятигранник. Его объем равен объему параллелепипеда минус объем пирамиды $A_1 D C_1 B_1$ (или через сечение). Проще заметить, что это объем половины параллелепипеда. $V_{параллелепипеда} = 3 \cdot 4 \cdot 5 = 60$. Объем многогранника = $V_{парал} / 2 = 30$. **Ответ: 30.** **9) Аналогично задаче 8.** $V_{парал} = 4 \cdot 3 \cdot 4 = 48$. Объем = $48 / 2 = 24$. **Ответ: 24.** **10) Аналогично задачам 8 и 9.** $V_{парал} = 5 \cdot 3 \cdot 4 = 60$. Объем = $60 / 2 = 30$. **Ответ: 30.** **11) Найти угол $DBD_1$.** В прямоугольном треугольнике $DBD_1$: $DD_1 = 5$ (высота), $BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16+9} = 5$. Так как $DD_1 = BD = 5$, треугольник равнобедренный прямоугольный. Угол $DBD_1 = 45^\circ$. **Ответ: 45.**