Контрольная работа по теме «Системы линейных уравнений»

1. Решим систему уравнений методом подстановки: $\begin{cases} 3x - y = 7 \\ 2x + 3y = 1 \end{cases}$ Выразим $y$ из первого уравнения: $y = 3x - 7$ Подставим во второе уравнение: $2x + 3(3x - 7) = 1$ $2x + 9x - 21 = 1$ $11x = 22$ $x = 2$ Находим $y$: $y = 3(2) - 7 = 6 - 7 = -1$ **Ответ: (2; -1)** 2. Пусть $x$ км/ч — скорость на лесной дороге, тогда $(x + 4)$ км/ч — скорость на шоссе. Расстояние равно произведению скорости на время: $2x + 1(x + 4) = 40$ $2x + x + 4 = 40$ $3x = 36$ $x = 12$ (км/ч) — скорость по лесной дороге. $12 + 4 = 16$ (км/ч) — скорость по шоссе. **Ответ: 16 км/ч, 12 км/ч** 3. Решим систему, упростив уравнения: $\begin{cases} 2(3x - y) - 5 = 2x - 3y \\ 5 - (x - 2y) = 4y + 16 \end{cases}$ Раскроем скобки: $\begin{cases} 6x - 2y - 5 = 2x - 3y \\ 5 - x + 2y = 4y + 16 \end{cases}$ Перенесем слагаемые с переменными влево, числа вправо: $\begin{cases} 4x + y = 5 \\ -x - 2y = 11 \end{cases}$ Умножим второе уравнение на 4, чтобы решить методом сложения: $\begin{cases} 4x + y = 5 \\ -4x - 8y = 44 \end{cases}$ Сложим уравнения: $(4x - 4x) + (y - 8y) = 5 + 44$ $-7y = 49$ $y = -7$ Найдем $x$ из уравнения $4x + y = 5$: $4x - 7 = 5$ $4x = 12$ $x = 3$ **Ответ: (3; -7)**