4* Из точек А и В, лежащих по одну сторону от прямой, проведены перпендикуляры АС и BD к этой прямой, угол ВАС равен 117°. Найдите величину угла ABD. Докажите, что прямые АВ и CD пересекаются.

Дано: AC $\perp$ прямой (обозначим её $l$), BD $\perp$ $l$. Точки A и B лежат по одну сторону от $l$. Угол BAC = $117^\circ$. 1. Найдем угол ABD. Так как AC $\perp$ $l$ и BD $\perp$ $l$, то прямые AC и BD параллельны (по признаку параллельности прямых: если две прямые перпендикулярны третьей, то они параллельны). Следовательно, сумма односторонних углов при параллельных AC и BD и секущей AB равна $180^\circ$: $\angle BAC + \angle ABD = 180^\circ$ $117^\circ + \angle ABD = 180^\circ$ $\angle ABD = 180^\circ - 117^\circ = 63^\circ$. 2. Докажем, что прямые AB и CD пересекаются. Рассмотрим четырехугольник ABDC. У нас AC $\perp$ CD (так как точки C и D лежат на прямой $l$, а AC и BD перпендикулярны этой прямой). Значит, AC || BD. Это означает, что ABDC — прямоугольная трапеция (если $AC \neq BD$) или прямоугольник (если $AC = BD$). В любом случае, это выпуклый четырехугольник. Так как сумма углов при боковой стороне трапеции (или просто из параллельности) $\angle BAC + \angle ABD = 180^\circ$, а сумма углов $\angle ACD + \angle BDC = 180^\circ$ (они оба по $90^\circ$), то прямые AB и CD, являющиеся сторонами четырехугольника (не параллельными, так как $\angle BAC \neq 90^\circ$), при продлении обязательно пересекутся, так как они не параллельны. Ответ: $\angle ABD = 63^\circ$.