Из точки M к окружности с центром O проведены касательные MA и MB. Найдите расстояние между точками касания A и B, если ∠AOB=120° и MO=18.

Question

Вопрос:

Из точки M к окружности с центром O проведены касательные MA и MB. Найдите расстояние между точками касания A и B, если ∠AOB=120° и MO=18.

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

Дано: окружность с центром $O$, точка $M$ вне её. $MA$ и $MB$ — касательные к окружности ($A$ и $B$ — точки касания). Угол $\angle AOB = 120^\circ$, расстояние $MO = 18$. Найти: $AB$. Решение: 1. Так как $MA$ и $MB$ — касательные, то радиусы $OA$ и $OB$ перпендикулярны касательным: $OA \perp MA$, $OB \perp MB$. Значит, $\angle OAM = \angle OBM = 90^\circ$. 2. Рассмотрим четырехугольник $OAMB$. Сумма его углов $360^\circ$. Угол $\angle AMB = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 120^\circ = 60^\circ$. 3. Проведем отрезок $OM$. Он является биссектрисой угла $\angle AOB$ (так как треугольники $\triangle OAM$ и $\triangle OBM$ равны по катету и гипотенузе: $OA=OB=R$, $OM$ — общая). Значит, $\angle AOM = \angle BOM = 120^\circ / 2 = 60^\circ$. 4. В прямоугольном треугольнике $\triangle OAM$ (угол $\angle OAM = 90^\circ$): $OA = OM \cdot \sin(\angle AMO) = 18 \cdot \sin(30^\circ) = 18 \cdot 0.5 = 9$. Также $MA = OM \cdot \cos(30^\circ) = 18 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 9\sqrt{3}$. 5. Отрезок $AB$ является хордой. Проведем $OM \cap AB = H$. В треугольнике $\triangle OAB$ отрезок $AH$ — высота, проведенная к $OM$. В прямоугольном треугольнике $\triangle OAH$ угол $\angle AOH = 60^\circ$: $AH = OA \cdot \sin(60^\circ) = 9 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4.5\sqrt{3}$. 6. $AB = 2 \cdot AH = 2 \cdot 4.5\sqrt{3} = 9\sqrt{3}$. **Ответ: 9\sqrt{3}**

Из точки M к окружности с центром O проведены касательные MA и MB. Найдите расстояние между точками касания A и B, если ∠AOB=120° и MO=18.

Ответ ассистента

Другие решения