1) tg x(tg x - 1) = 0

Давай разберем эти уравнения. 1) $\operatorname{tg} x(\operatorname{tg} x - 1) = 0$ Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю: $\operatorname{tg} x = 0 \implies x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$ $\operatorname{tg} x = 1 \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$ 2) $\operatorname{ctg} x(\operatorname{ctg} x + 1) = 0$ $\operatorname{ctg} x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$ $\operatorname{ctg} x = -1 \implies x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$ 3) $3\operatorname{ctg}^2 x + \sqrt{3}\operatorname{ctg} x = 0$ Вынесем общий множитель $\operatorname{ctg} x$: $\operatorname{ctg} x(3\operatorname{ctg} x + \sqrt{3}) = 0$ $\operatorname{ctg} x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$ $3\operatorname{ctg} x = -\sqrt{3} \implies \operatorname{ctg} x = -\frac{\sqrt{3}}{3} \implies x = \frac{2\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$ 4) $\sin^2 x = \frac{1}{4}$ $\sin x = \pm \frac{1}{2}$ Если $\sin x = \frac{1}{2}$, то $x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$ Если $\sin x = -\frac{1}{2}$, то $x = (-1)^k (-\frac{\pi}{6}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$ Эти серии решений можно объединить в одну: $x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$