5) ctg^2 x = 1

Привет! Давай решим эти тригонометрические уравнения. ### 5) $\text{ctg}^2 x = 1$ Извлекаем корень из обеих частей: $\text{ctg} x = 1$ или $\text{ctg} x = -1$ 1. $\text{ctg} x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$ 2. $\text{ctg} x = -1 \Rightarrow x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$ Объединяя, получаем: **Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$** ### 6) $2\cos^2 x - \cos x - 1 = 0$ Это квадратное уравнение относительно $\cos x$. Пусть $\cos x = t$ (где $|t| \le 1$): $2t^2 - t - 1 = 0$ Находим дискриминант: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9 = 3^2$ $t_1 = \frac{1 + 3}{4} = 1$, $t_2 = \frac{1 - 3}{4} = -0.5$ Возвращаемся к $\cos x$: 1. $\cos x = 1 \Rightarrow x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$ 2. $\cos x = -0.5 \Rightarrow x = \pm \arccos(-0.5) + 2\pi k = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$ **Ответ: $x = 2\pi k, \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$** ### 7) $\text{tg}^2 x + 3\text{tg} x - 4 = 0$ Пусть $\text{tg} x = t$: $t^2 + 3t - 4 = 0$ По теореме Виета или через дискриминант ($D = 9 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 25$): $t_1 = 1$, $t_2 = -4$ Возвращаемся к $\text{tg} x$: 1. $\text{tg} x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$ 2. $\text{tg} x = -4 \Rightarrow x = \text{arctg}(-4) + \pi k = -\text{arctg}(4) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$ **Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi k, x = -\text{arctg}(4) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$**