47. \sum_{n=1}^{\infty} \frac{6}{9+n^2} (Ответ: сходится)

Для решения задач 47-50 используем признаки сходимости рядов. 47. $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{6}{9+n^2}$ Применим предельный признак сравнения. Сравним с рядом $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$, который сходится (как обобщенный гармонический ряд с $p=2 > 1$). $\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{6}{9+n^2}}{\frac{1}{n^2}} = \lim_{n \to \infty} \frac{6n^2}{9+n^2} = 6$. Так как предел конечен и отличен от нуля, исходный ряд сходится. 48. $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2n+1)(2n+3)}$ Воспользуемся методом разложения на простейшие дроби: $\frac{1}{(2n+1)(2n+3)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2n+1} - \frac{1}{2n+3} \right)$. Рассмотрим частичную сумму $S_N = \frac{1}{2} \left( (1 - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{5}) + \dots + (\frac{1}{2N+1} - \frac{1}{2N+3}) \right) = \frac{1}{2} (1 - \frac{1}{2N+3})$. $\lim_{N \to \infty} S_N = \frac{1}{2}(1-0) = \frac{1}{2}$. Ряд сходится. 49. $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^3}{(n+1)!}$ Воспользуемся признаком Даламбера: $a_n = \frac{n^3}{(n+1)!}$. $\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^3}{(n+2)!} \cdot \frac{(n+1)!}{n^3} = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^3}{n^3(n+2)} = 0$. Так как $0 < 1$, ряд сходится. 50. $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(3n+1)\sqrt{3n+1}} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(3n+1)^{3/2}}$ Воспользуемся предельным признаком сравнения. Сравним с рядом $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{3/2}}$. Это обобщенный гармонический ряд с $p = 3/2 > 1$, он сходится. $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{(3n+1)^{3/2}} \cdot \frac{n^{3/2}}{1} = \lim_{n \to \infty} (\frac{n}{3n+1})^{3/2} = (\frac{1}{3})^{3/2} = \frac{1}{3\sqrt{3}}$. Предел конечен и отличен от нуля, значит, исходный ряд сходится.