5. 31 декабря 2014 года Алексей взял в банке 6 902 000 рублей в кредит под 12,5% годовых. Схема выплат кредита следующая—31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (т. е. увеличивает долг на 12,5%), затем Алексей переводит в банк x рублей. Какой должна быть сумма x, чтобы Алексей выплатил долг четырьмя равными платежами (т. е. за четыре года)?

### Решение задачи 5 Пусть $S = 6\,902\,000$ рублей — сумма кредита, $r = 12,5\% = 0,125$ — процентная ставка, $k = 1 + r = 1,125$. Платеж обозначим за $x$. Поскольку платежи равны и совершаются ежегодно в течение 4 лет, используем формулу аннуитетных платежей для долга, который погашается полностью: $S = \frac{x}{k} + \frac{x}{k^2} + \frac{x}{k^3} + \frac{x}{k^4} = x \cdot \frac{k^4 - 1}{k^4(k - 1)}$ Подставим значения: $6\,902\,000 = x \cdot \frac{1,125^4 - 1}{1,125^4 \cdot 0,125}$ Вычислим $1,125^4 = (9/8)^4 = 6561/4096 \approx 1,60180664$ $1,125^4 - 1 = 2465/4096$ $6\,902\,000 = x \cdot \frac{2465/4096}{0,125 \cdot 6561/4096} = x \cdot \frac{2465}{0,125 \cdot 6561} = x \cdot \frac{2465}{820,125}$ $x = 6\,902\,000 \cdot \frac{820,125}{2465} = 6\,902\,000 \cdot 0,3327079...$ Проще посчитать через остаток долга: 1. После 1-го года: $S_1 = S \cdot k - x$ 2. После 2-го года: $S_2 = S_1 \cdot k - x = S \cdot k^2 - x(k+1)$ 3. После 3-го года: $S_3 = S_2 \cdot k - x = S \cdot k^3 - x(k^2+k+1)$ 4. После 4-го года: $S_4 = S_3 \cdot k - x = S \cdot k^4 - x(k^3+k^2+k+1) = 0$ $S \cdot k^4 = x \cdot \frac{k^4 - 1}{k - 1}$ $6\,902\,000 \cdot (1,125)^4 = x \cdot \frac{(1,125)^4 - 1}{0,125}$ $6\,902\,000 \cdot 1,60180664 = x \cdot 4,81445312$ $11\,055\,675,4 = x \cdot 4,81445312$ $x = 2\,296\,350$ **Ответ:** 2 296 350 рублей. ### Решение задачи 6 Пусть $S = 100\,000$, платежи $P_1 = 75\,000$ и $P_2 = 46\,000$. Пусть $k = 1 + \frac{r}{100}$. 1. Долг после первого года: $S \cdot k - P_1$ 2. Долг после второго года: $(S \cdot k - P_1) \cdot k - P_2 = 0$ $100\,000k^2 - 75\,000k - 46\,000 = 0$ Разделим на $1\,000$: $100k^2 - 75k - 46 = 0$ Дискриминант: $D = (-75)^2 - 4 \cdot 100 \cdot (-46) = 5625 + 18400 = 24025$ $\sqrt{D} = 155$ $k_1 = \frac{75 + 155}{200} = \frac{230}{200} = 1,15$ $k_2$ — отрицательный, не подходит. Так как $k = 1 + \frac{r}{100}$, то $1 + \frac{r}{100} = 1,15$, откуда $r = 15\%$. **Ответ:** 15.