258 Периметр равнобедренного треугольника равен 25 см, разность двух сторон равна 4 см, а один из его внешних углов — острый. Найдите стороны треугольника.

Для решения задачи 258 рассмотрим варианты сторон равнобедренного треугольника с периметром 25 см. Пусть стороны треугольника равны $a, a$ и $b$. Периметр: $2a + b = 25$. Разность двух сторон равна 4 см, возможны два случая: 1) $a - b = 4 \Rightarrow a = b + 4$. Подставим в периметр: $2(b + 4) + b = 25 \Rightarrow 2b + 8 + b = 25 \Rightarrow 3b = 17 \Rightarrow b = \frac{17}{3} = 5\frac{2}{3}$. Тогда стороны: $5\frac{2}{3}$ см, $5\frac{2}{3}$ см, $9\frac{2}{3}$ см. Проверим неравенство треугольника: $5\frac{2}{3} + 5\frac{2}{3} = 11\frac{1}{3} > 9\frac{2}{3}$ (верно). Внешний угол острый, значит, внутренний угол при вершине должен быть тупым (так как сумма внешнего и внутреннего угла равна $180^\circ$). При сторонах $5\frac{2}{3}, 5\frac{2}{3}, 9\frac{2}{3}$ основания $9\frac{2}{3}$ больше боковых сторон, значит, угол при вершине (против основания $9\frac{2}{3}$) — самый большой. По теореме косинусов: $\cos(\alpha) = \frac{(5\frac{2}{3})^2 + (5\frac{2}{3})^2 - (9\frac{2}{3})^2}{2 \cdot 5\frac{2}{3} \cdot 5\frac{2}{3}} < 0$, угол тупой, внешний угол острый. Это решение подходит. 2) $b - a = 4 \Rightarrow b = a + 4$. Подставим в периметр: $2a + (a + 4) = 25 \Rightarrow 3a = 21 \Rightarrow a = 7$. Тогда стороны: 7 см, 7 см, 11 см. Проверим неравенство треугольника: $7 + 7 = 14 > 11$ (верно). Здесь основание 11, боковые стороны 7. Угол против основания самый большой. $\cos(\alpha) = \frac{7^2 + 7^2 - 11^2}{2 \cdot 7 \cdot 7} = \frac{49 + 49 - 121}{98} = -\frac{23}{98} < 0$. Угол тупой, внешний угол острый. Это решение тоже подходит. Ответ: 5 2/3 см, 5 2/3 см, 9 2/3 см или 7 см, 7 см, 11 см.