Упростите выражение: cos^2 α + (cos(π-α)sin(π/2-α))/(ctg(π+α)tg(3π/2-α))

### 1. Упростите выражение: $\cos^2 \alpha + \frac{\cos(\pi-\alpha)\sin(\frac{\pi}{2}-\alpha)}{\text{ctg}(\pi+\alpha)\text{tg}(\frac{3\pi}{2}-\alpha)}$ Используем формулы приведения: 1. $\cos(\pi-\alpha) = -\cos \alpha$ 2. $\sin(\frac{\pi}{2}-\alpha) = \cos \alpha$ 3. $\text{ctg}(\pi+\alpha) = \text{ctg} \alpha$ 4. $\text{tg}(\frac{3\pi}{2}-\alpha) = \text{ctg} \alpha$ Подставим: $\cos^2 \alpha + \frac{(-\cos \alpha)(\cos \alpha)}{\text{ctg} \alpha \cdot \text{ctg} \alpha} = \cos^2 \alpha - \frac{\cos^2 \alpha}{\text{ctg}^2 \alpha} = \cos^2 \alpha - \frac{\cos^2 \alpha}{\frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}} = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = \cos(2\alpha)$ **Ответ: $\cos(2\alpha)$** ### 2. Вычислите: $\cos 2005^\circ \cos 1960^\circ + \sin 1960^\circ \sin 2005^\circ$ Это формула косинуса разности: $\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$. $\cos(2005^\circ - 1960^\circ) = \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ **Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$** ### 3. Известно, что $\sin \alpha = -\frac{12}{13}$, $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$. Вычислите: Так как $\alpha$ в IV четверти, $\cos \alpha > 0$. $\cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = \sqrt{1 - (-\frac{12}{13})^2} = \sqrt{1 - \frac{144}{169}} = \sqrt{\frac{25}{169}} = \frac{5}{13}$. а) $\cos \alpha = \frac{5}{13}$ б) $\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = 2 \cdot (-\frac{12}{13}) \cdot \frac{5}{13} = -\frac{120}{169}$ в) $\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = (\frac{5}{13})^2 - (-\frac{12}{13})^2 = \frac{25}{169} - \frac{144}{169} = -\frac{119}{169}$ ### 4. Решите уравнения: а) $\cos x = 1 \implies x = 2\pi k, k \in Z$ б) $\sin x = \frac{1}{2} \implies x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in Z$ в) $\text{ctg} x = -\frac{\sqrt{3}}{3} = -\frac{1}{\sqrt{3}} \implies x = -\frac{\pi}{3} + \pi k, k \in Z$ ### 5. Решите уравнения: а) $\cos^2 x - \cos x - 2 = 0$. Пусть $\cos x = t$ ($|t| \le 1$). $t^2 - t - 2 = 0$. По теореме Виета: $t_1 = 2$ (не подходит), $t_2 = -1$. $\cos x = -1 \implies x = \pi + 2\pi k, k \in Z$. б) $3 \cos^2 x - 2 \sin x + 2 = 0$. Заменим $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$: $3(1 - \sin^2 x) - 2 \sin x + 2 = 0$ $3 - 3 \sin^2 x - 2 \sin x + 2 = 0$ $-3 \sin^2 x - 2 \sin x + 5 = 0$ $3 \sin^2 x + 2 \sin x - 5 = 0$. Пусть $\sin x = t$ ($|t| \le 1$). $3t^2 + 2t - 5 = 0$. Сумма коэффициентов $3+2-5=0$, значит $t_1 = 1, t_2 = -5/3$ (не подходит). $\sin x = 1 \implies x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in Z$.