Задача: : Найти площадь фигуры ограниченной параболами y = x^2, y = 2x - x^2 и осью Ox.

Для нахождения площади фигуры, ограниченной параболами $y = x^2$ и $y = 2x - x^2$ и осью $Ox$, нужно выполнить следующие шаги: 1. **Найти точки пересечения графиков:** Приравняем функции: $x^2 = 2x - x^2$ $2x^2 - 2x = 0$ $2x(x - 1) = 0$ Точки пересечения: $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$. 2. **Найти пересечение с осью $Ox$:** - Для $y = x^2$: $x^2 = 0 \Rightarrow x = 0$. - Для $y = 2x - x^2$: $2x - x^2 = 0 \Rightarrow x(2 - x) = 0 \Rightarrow x = 0$ и $x = 2$. 3. **Определить границы области:** Фигура ограничена: - Слева осью $Oy$ (точкой $x=0$), которая является общей точкой. - Снизу осью $Ox$ на участке от 0 до 2. - Сверху параболой $y = x^2$ на промежутке $[0, 1]$ (так как она ниже второй параболы). - Сверху параболой $y = 2x - x^2$ на промежутке $[1, 2]$. Площадь $S$ можно разбить на две части: $S = \int_0^1 x^2 dx + \int_1^2 (2x - x^2) dx$ Вычислим интегралы: 1. $\int_0^1 x^2 dx = [\frac{x^3}{3}]_0^1 = \frac{1}{3} - 0 = \frac{1}{3}$ 2. $\int_1^2 (2x - x^2) dx = [x^2 - \frac{x^3}{3}]_1^2 = (4 - \frac{8}{3}) - (1 - \frac{1}{3}) = (\frac{12-8}{3}) - (\frac{3-1}{3}) = \frac{4}{3} - \frac{2}{3} = \frac{2}{3}$ Сложим площади: $S = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} = 1$. **Ответ: 1.**