Задача: : Найти площадь фигуры ограниченной параболами y=x^2, y=2x-x^2 и осью Ox.

Для нахождения площади заштрихованной фигуры, ограниченной линиями $y=x^2$, $y=2x-x^2$ и осью $Ox$, выполним следующие шаги: 1. **Точки пересечения:** - Пересечение парабол $y=x^2$ и $y=2x-x^2$: $x^2 = 2x - x^2$ $2x^2 - 2x = 0$ $2x(x - 1) = 0$ $x_1 = 0$, $x_2 = 1$. - Пересечение параболы $y=2x-x^2$ с осью $Ox$ ($y=0$): $2x - x^2 = 0$ $x(2 - x) = 0$ $x_1 = 0$, $x_2 = 2$. 2. **Разбиение области интегрирования:** Фигура состоит из двух частей: - От $x=0$ до $x=1$ область ограничена сверху параболой $y=x^2$. - От $x=1$ до $x=2$ область ограничена сверху параболой $y=2x-x^2$. 3. **Вычисление площади:** $S = \int_0^1 x^2 dx + \int_1^2 (2x - x^2) dx$ Вычислим интегралы: - $\int_0^1 x^2 dx = \left. \frac{x^3}{3} \right|_0^1 = \frac{1}{3} - 0 = \frac{1}{3}$ - $\int_1^2 (2x - x^2) dx = \left. (x^2 - \frac{x^3}{3}) \right|_1^2 = (4 - \frac{8}{3}) - (1 - \frac{1}{3}) = \frac{4}{3} - \frac{2}{3} = \frac{2}{3}$ Итоговая площадь: $S = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} = 1$. **Ответ:** Площадь фигуры равна 1.