8. Найдите угол АСО, если его сторона СА касается окружности, О – центр окружности, а дуга AD окружности, заключённая внутри этого угла, равна 110°.

### Решение задачи 8 1. Пусть $\angle ACO = x$. Так как $CA$ — касательная, то радиус $OA \perp AC$, следовательно, $\angle OAC = 90^\circ$. 2. В треугольнике $\triangle AOC$ сумма углов равна $180^\circ$. Угол $\angle AOC = 180^\circ - 90^\circ - x = 90^\circ - x$. 3. Угол $\angle AOC$ является центральным углом, опирающимся на дугу $AD$. По условию, градусная мера дуги $AD = 110^\circ$. Но так как $CD$ проходит через центр $O$, то $CD$ — диаметр. Это значит, что дуга $AD$ (меньшая) равна центральному углу $\angle AOD$, который смежный с $\angle AOC$. 4. Однако на рисунке дуга $AD$ — это часть окружности, заключенная внутри угла $\angle ACO$. Это не совсем стандартная формулировка. Давайте посмотрим на рисунок: $CD$ — секущая, проходящая через центр. $\angle AOC$ — центральный угол, дополняющий дугу $AD$ до $180^\circ$ (так как $COD$ — развернутый угол). 5. Градусная мера дуги $AD$ равна центральному углу $\angle AOD = 110^\circ$. 6. Тогда $\angle AOC = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$. 7. В прямоугольном треугольнике $\triangle OAC$ (где $\angle OAC = 90^\circ$) сумма острых углов $90^\circ$: $\angle ACO = 90^\circ - 70^\circ = 20^\circ$. **Ответ: 20°** ### Решение задачи 9 1. В четырехугольнике $CAO B$ сумма углов равна $360^\circ$. 2. Радиусы $OA$ и $OB$ перпендикулярны касательным $CA$ и $CB$, значит, $\angle OAC = 90^\circ$ и $\angle OBC = 90^\circ$. 3. Сумма углов четырехугольника: $\angle C + \angle OAC + \angle OBC + \angle AOB = 360^\circ$. 4. Подставим значения: $87^\circ + 90^\circ + 90^\circ + \angle AOB = 360^\circ$. 5. $267^\circ + \angle AOB = 360^\circ$. 6. $\angle AOB = 360^\circ - 267^\circ = 93^\circ$. **Ответ: 93°**