Угол ACO равен 28°. Его сторона CA касается окружности с центром в точке O. Сторона CO пересекает окружность в точках B и D (см. рис.). Найдите градусную меру дуги AD окружности, заключённой внутри этого угла. Ответ дайте в градусах.

### Задача 7 1. Треугольник $\triangle AOC$ прямоугольный, так как $CA$ — касательная (радиус $OA \perp AC$). 2. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$. Значит, $\angle AOC = 90^\circ - 28^\circ = 62^\circ$. 3. Угол $\angle AOC$ является центральным углом, опирающимся на дугу $AB$. Значит, дуга $AB = 62^\circ$. 4. Точка $B$ лежит на окружности, $OD$ — радиус. Дуга $BD$ — полуокружность (так как $CO$ проходит через центр $O$ и пересекает окружность в $B$ и $D$), её градусная мера $180^\circ$. 5. Дуга $AD = \text{дуга } AB + \text{дуга } BD = 62^\circ + 180^\circ = 242^\circ$. Но так как нас просят найти дугу $AD$, заключенную внутри угла, а дуга $AD$ (меньшая) равна $180^\circ - 62^\circ = 118^\circ$. **Ответ: 118** ### Задача 8 1. В четырехугольнике $AEOD$ углы при вершинах $E$ и $D$ прямые ($90^\circ$), так как $BD$ и $CE$ — высоты. 2. Сумма углов четырехугольника равна $360^\circ$. $\angle DOE = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - \angle A = 180^\circ - \angle A$. 3. В $\triangle ABC$: $\angle A = 180^\circ - (\angle ABC + \angle ACB)$. 4. Но у нас есть углы в треугольниках $\triangle ABD$ и $\triangle ACE$. $\angle A = 180^\circ - 56^\circ = 124^\circ$ (сумма других углов). 5. Углы $\triangle ABC$ нам не даны по отдельности, кроме $\angle A = 56^\circ$. Угол $\angle DOE$ вертикален с углом $\angle BOC$. $\angle DOE = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 56^\circ = 124^\circ$. **Ответ: 124** ### Задача 9 1. Обозначим меньший угол как $x$, тогда больший угол равен $x + 40^\circ$. 2. Сумма соседних углов параллелограмма равна $180^\circ$. 3. $x + (x + 40) = 180 \Rightarrow 2x = 140 \Rightarrow x = 70^\circ$. **Ответ: 70** ### Задача 10 1. $\angle ABC = 82^\circ$, $\angle ABD = 47^\circ$. 2. $\angle CBD = \angle ABC - \angle ABD = 82^\circ - 47^\circ = 35^\circ$. 3. Углы $\angle CAD$ и $\angle CBD$ опираются на одну и ту же дугу $CD$, поэтому они равны. 4. $\angle CAD = \angle CBD = 35^\circ$. **Ответ: 35** ### Задача 11 1. В $\triangle ABC$: $\angle C = 90^\circ, \angle B = 35^\circ$. Значит, $\angle A = 90^\circ - 35^\circ = 55^\circ$. 2. Данные в условии (CD - медиана) при $\angle C = 90^\circ$ означают, что медиана равна половине гипотенузы: $CD = AD = DB$. 3. $\triangle ACD$ равнобедренный, $\angle ACD = \angle A = 55^\circ$. **Ответ: 55** ### Задача 12 1. $\angle ACB = 54^\circ$. Этот вписанный угол опирается на дугу $AB$, значит, дуга $AB = 2 \cdot 54^\circ = 108^\circ$. 2. Дуга $AE$ (которая не содержит $D$) равна $138^\circ$. 3. Угол $\angle DAE$ — вписанный, опирается на дугу $DE$. 4. $\text{Дуга } AD = 360^\circ - (\text{дуга } AB + \text{дуга } BE + \text{дуга } ED)$. Здесь не хватает данных о точках, задача требует уточнения или графического анализа, но если предположить, что дуга $AE$ — это вся дуга, то $\angle DAE = \frac{1}{2} \cdot 138^\circ = 69^\circ$ (если $E$ лежит на окружности так, что опирается на дугу $138^\circ$). **Ответ: 69**