решить дифференциальное уравнение (1 + y^2)dx - (y - yx^2)dy = 0

Для решения данного дифференциального уравнения: $(1 + y^2)dx - (y - yx^2)dy = 0$ 1. Преобразуем уравнение, чтобы разделить переменные: $(1 + y^2)dx = (y - yx^2)dy$ Вынесем $y$ за скобки в правой части: $(1 + y^2)dx = y(1 - x^2)dy$ Разделим обе части на $(1 - x^2)$ и $(1 + y^2)$ (при условии, что $x^2 \neq 1$ и $y^2 \neq -1$): $\frac{dx}{1 - x^2} = \frac{y dy}{1 + y^2}$ 2. Интегрируем обе части уравнения: $\int \frac{dx}{1 - x^2} = \int \frac{y dy}{1 + y^2}$ Интеграл слева — табличный (высокий логарифм): $\int \frac{dx}{a^2 - x^2} = \frac{1}{2a} \ln|\frac{a+x}{a-x}| + C$. В нашем случае $a=1$, поэтому: $\frac{1}{2} \ln|\frac{1+x}{1-x}|$ Интеграл справа решается методом подстановки $u = 1 + y^2$, $du = 2y dy$, откуда $y dy = \frac{1}{2} du$: $\int \frac{y dy}{1 + y^2} = \frac{1}{2} \int \frac{du}{u} = \frac{1}{2} \ln|u| = \frac{1}{2} \ln(1 + y^2)$ 3. Запишем равенство: $\frac{1}{2} \ln|\frac{1+x}{1-x}| = \frac{1}{2} \ln(1 + y^2) + C_1$ Умножим все на 2 и обозначим $2C_1$ как $\ln|C|$: $\ln|\frac{1+x}{1-x}| = \ln(1 + y^2) + \ln|C|$ $\ln|\frac{1+x}{1-x}| = \ln|C(1 + y^2)|$ Потенцируем (убираем логарифмы): $\frac{1+x}{1-x} = C(1 + y^2)$ **Ответ:** $\frac{1+x}{1-x} = C(1 + y^2)$