8. Значение полного дифференциала функции z = sqrt(xy) + 5x - 25y cos x при условии, что x = y = pi/2, равно

Для нахождения полного дифференциала функции $z = f(x, y)$ используем формулу: $dz = \frac{\partial z}{\partial x}dx + \frac{\partial z}{\partial y}dy$ 1. Находим частную производную по $x$: $\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(\sqrt{xy} + 5x - 25y \cos x) = \frac{1}{2\sqrt{xy}} \cdot y + 5 - 25y(-\sin x) = \frac{y}{2\sqrt{xy}} + 5 + 25y \sin x$ Подставим значения $x = y = \frac{\pi}{2}$: $\frac{\partial z}{\partial x} (\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) = \frac{\pi/2}{2\sqrt{(\pi/2)^2}} + 5 + 25 \cdot \frac{\pi}{2} \sin \frac{\pi}{2} = \frac{\pi/2}{\pi} + 5 + 12,5\pi \cdot 1 = 0,5 + 5 + 12,5\pi = 5,5 + 12,5\pi$ 2. Находим частную производную по $y$: $\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(\sqrt{xy} + 5x - 25y \cos x) = \frac{1}{2\sqrt{xy}} \cdot x + 0 - 25 \cos x = \frac{x}{2\sqrt{xy}} - 25 \cos x$ Подставим значения $x = y = \frac{\pi}{2}$: $\frac{\partial z}{\partial y} (\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) = \frac{\pi/2}{2\sqrt{(\pi/2)^2}} - 25 \cos \frac{\pi}{2} = \frac{\pi/2}{\pi} - 25 \cdot 0 = 0,5$ 3. Записываем полный дифференциал: $dz = (5,5 + 12,5\pi)dx + 0,5dy$ **Ответ: 1)**