Из точки A и B, лежащих в одной полуплоскости относительно прямой a, опущены перпендикуляры AB1 и BB2 на эту прямую.

Допущение: задачи 433, 434, 435, 436, 437 из учебника по геометрии. ### Решение задач: **Задача 433** Из точки A и B, лежащих в одной полуплоскости относительно прямой a, опущены перпендикуляры AB₁ и BB₂ на эту прямую. AB₁ = BB₂. Докажите, что AK = BK. *Решение:* Так как AB₁ и BB₂ — перпендикуляры к прямой a, то AB₁ || BB₂. В четырехугольнике AB₁B₂B углы при прямой a прямые. Стороны AB₁ и BB₂ равны и параллельны, значит, это прямоугольник. Тогда AB = B₁B₂. Треугольники AKB₁ и BKB₂ (где K — точка на прямой a) не будут равны без дополнительных данных о положении точки K. Вероятно, в условии пропущено, что K — середина отрезка B₁B₂. **Задача 434** На рисунке 304 AB = CD, AB || CD, BM = DE. Докажите, что BM = DE. *Решение:* Это очевидное тождество, так как дано в условии BM = DE. **Задача 435** На рисунке 305 AB = BC, DE = AC. Докажите, что BD = BD. *Решение:* Очевидно, так как любой отрезок равен самому себе (рефлексивность). **Задача 436** На биссектрисе угла с вершиной в точке B отмечена точка M, из которой на стороны угла опущены перпендикуляры BD и BE. Докажите, что MD = ME. *Решение:* Рассматриваем прямоугольные треугольники BDM и BEM. 1) BM — общая гипотенуза. 2) ∠DBM = ∠EBM (так как BM — биссектриса). Треугольники равны по гипотенузе и острому углу. Следовательно, катеты MD = ME. **Задача 437** На сторонах угла с вершиной в точке B отмечены точки A и C так, что AB = BC. Через точки A и C проведены прямые, перпендикулярные сторонам BA и BC соответственно, которые пересекаются в точке O. Докажите, что луч BO — биссектриса угла ABC. *Решение:* Рассмотрим треугольники OAB и OCB. 1) ∠OAB = ∠OCB = 90° (по условию). 2) AB = BC (по условию). 3) OB — общая сторона (гипотенуза). Треугольники равны по катету и гипотенузе. Следовательно, ∠ABO = ∠CBO, значит, BO — биссектриса.