Привет! Давай разберем эти задачи на свойства углов, вписанных в окружность. Основное правило: сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна $180^\circ$. Также помни, что вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
### Решения:
1) Противоположные углы в сумме $180^\circ$:
- $x + 85^\circ = 180^\circ \Rightarrow x = 95^\circ$
- $y + 60^\circ = 180^\circ \Rightarrow y = 120^\circ$
**Ответ: $x = 95^\circ, y = 120^\circ$**
2) Противоположные углы в сумме $180^\circ$:
- $x + 82^\circ = 180^\circ \Rightarrow x = 98^\circ$
- $y + 77^\circ = 180^\circ \Rightarrow y = 103^\circ$
**Ответ: $x = 98^\circ, y = 103^\circ$**
3) Противоположные углы в сумме $180^\circ$:
- $x + 146^\circ = 180^\circ \Rightarrow x = 34^\circ$
- $y + 68^\circ = 180^\circ \Rightarrow y = 112^\circ$
**Ответ: $x = 34^\circ, y = 112^\circ$**
4) Сумма углов в треугольниках или свойства вписанного четырехугольника:
- В четырёхугольнике ABCD сумма углов $360^\circ$ (или попарно $180^\circ$).
- $\angle BCD = 117^\circ$, $\angle BAD = 53^\circ + 41^\circ = 94^\circ$. Подожди, тут углы треугольников.
- Из $\triangle ABD$: $\angle ABD = 180^\circ - 53^\circ - (\angle ADB)$. Углы опираются на одни дуги.
- $\angle x$ (это $\angle ADB$) опирается на дугу $AB$, как и $\angle ACB$. Но у нас $\angle x$ и $\angle y$ — части углов.
- По свойствам вписанных углов: $\angle x = 117^\circ - 41^\circ = 76^\circ$ (если $\angle C = 117$ целиком, это не похоже).
- Давай проще: $\angle y$ (это $\angle CBD$) опирается на дугу $CD$, а угол $53^\circ$ опирается на ту же дугу $CD$. Значит, $y = 53^\circ$. Аналогично, $\angle x$ (это $\angle ADB$) опирается на дугу $AB$, как и $\angle ACB = 41^\circ$. Значит, $x = 41^\circ$.
**Ответ: $x = 41^\circ, y = 53^\circ$**
5) По свойству вписанных углов, опирающихся на одну дугу:
- Угол $68^\circ$ и $\angle y$ опираются на дугу $AD$ (если $y$ это $\angle CBD$). Нет, $68^\circ$ это $\angle ABD$, он опирается на дугу $AD$. Угол $y$ ($\angle CBD$) опирается на дугу $CD$, как и угол $38^\circ$. Значит, $y = 38^\circ$.
- Аналогично, $x = 68^\circ$ (опирается на ту же дугу, что и угол $68^\circ$, если они на дуге $CD$? Нет, на рисунке $x$ это $\angle ABD$).
- $\angle y$ опирается на дугу $CD$, как и угол $38^\circ$, значит $y = 38^\circ$.
- $\angle x$ опирается на дугу $AD$, как и угол $68^\circ$, значит $x = 68^\circ$.
**Ответ: $x = 68^\circ, y = 38^\circ$**
6) Здесь $BD$ — диаметр (проходит через центр $O$).
- Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен $90^\circ$. Значит $\angle BAD = 90^\circ$ и $\angle BCD = 90^\circ$.
- $\triangle ABD$: $\angle ADB = 180^\circ - 90^\circ - 130^\circ$? Нет, $130^\circ$ — это центральный угол или внешний? Похоже, это угол $\angle COD = 130^\circ$.
- Тогда $\triangle COD$ равнобедренный ($CO=OD=R$). $\angle OCD = \angle ODC = (180^\circ - 130^\circ) / 2 = 25^\circ$.
- $\angle y$ ($\angle CBD$) и $\angle CAD$ опираются на дугу $CD$. $\angle CAD = 25^\circ$ (как угол, опирающийся на ту же дугу, что и $\angle CBD$?).
- $\angle x$ ($\angle ADB$) опирается на дугу $AB$. $\angle ACB$ тоже опирается на дугу $AB$.
- Если $\angle COD = 130^\circ$, то $\angle COB = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ$. В $\triangle COB$ углы при основании равны $(180-50)/2 = 65^\circ$. Значит, $\angle y = 65^\circ$.
- $\angle x$: В $\triangle AOD$, $\angle AOD = 180 - 50 = 130^\circ$ (вертикальный с $\angle COD$?). Нет, сумма углов $180$. $\angle AOB = 180 - 50 = 130^\circ$. В $\triangle AOB$ углы при основании $(180-130)/2 = 25^\circ$. Значит $x = 25^\circ$.
**Ответ: $x = 25^\circ, y = 65^\circ$**
7) Опять $BD$ — диаметр. $\angle BAD = 90^\circ$, $\angle BCD = 90^\circ$.
- В $\triangle BCD$: $\angle CBD = 180^\circ - 90^\circ - 68^\circ = 22^\circ$. Это $y$?
- $\angle x$ ($\angle ADB$) и $\angle ACB$ опираются на дугу $AB$. Значит $x = 68^\circ$.
**Ответ: $x = 68^\circ, y = 22^\circ$**
8) $AC$ — диаметр. $\angle ABC = 90^\circ$, $\angle ADC = 90^\circ$.
- $y$ ($\angle CAD$) и $\angle CBD$ опираются на дугу $CD$. $x$ ($\angle BAC$) и $\angle BDC$ опираются на дугу $BC$.
- На рисунке есть угол $35^\circ$ (это $\angle BDC$). Значит, $x = 35^\circ$.
- $\angle y$: $\triangle ADC$ прямоугольный, $\angle ACD = 35^\circ$. $y = 90^\circ - 35^\circ = 55^\circ$.
**Ответ: $x = 35^\circ, y = 55^\circ$**
9) Здесь $BD$ — диаметр. $\angle BAD = 90^\circ$, $\angle BCD = 90^\circ$.
- Угол $44^\circ$ ($\angle ADB$) опирается на дугу $AB$. Значит, $\angle ACB = 44^\circ$.
- $y$ ($\angle BDC$) и $\angle BAC$ опираются на дугу $BC$.
- В $\triangle BCD$: $\angle CBD = 180^\circ - 90^\circ - 44^\circ = 46^\circ$.
- Поскольку $\triangle BCD$ и $\triangle BAD$ имеют общую сторону $BD$, и углы равны... $y = 90^\circ - 44^\circ = 46^\circ$.
- $x$ ($\angle ABD$) = $90^\circ - 44^\circ = 46^\circ$.
**Ответ: $x = 46^\circ, y = 46^\circ$**
