Задумали двузначное число. Когда это число умножили на произведение его цифр, получилось 255. Какое число задумали?

Пусть задуманное двузначное число имеет вид $10a + b$, где $a$ — цифра десятков (от 1 до 9), $b$ — цифра единиц (от 0 до 9). По условию задачи, произведение числа на произведение его цифр равно 255: $(10a + b) \times a \times b = 255$ Разложим число 255 на множители: $255 = 5 \times 51 = 5 \times 3 \times 17$ Так как число 255 делится на 5, то либо $a$, либо $b$ должно быть кратно 5. Цифры могут быть 5 или 0. Если одна из цифр равна 0, то произведение равно 0, что нам не подходит. Значит, одна из цифр — 5. Проверим варианты, где одна из цифр равна 5: 1) Если $b = 5$: $(10a + 5) \times a \times 5 = 255$ $(10a + 5) \times a = 51$ Это уравнение не имеет целых решений, так как 51 не делится на 5. 2) Если $a = 5$: $(10 \times 5 + b) \times 5 \times b = 255$ $(50 + b) \times b = 51$ Это уравнение также не дает целых корней. Попробуем проверить делители числа 255, которые могут быть двузначными числами (от 10 до 99). Делители 255: 1, 3, 5, 15, 17, 51, 85, 255. Двузначные числа из этого списка: 15, 17, 51, 85. Проверим каждое: - Для 15: произведение цифр $1 \times 5 = 5$. $15 \times 5 = 75 \neq 255$. - Для 17: произведение цифр $1 \times 7 = 7$. $17 \times 7 = 119 \neq 255$. - Для 51: произведение цифр $5 \times 1 = 5$. $51 \times 5 = 255$. Подходит! - Для 85: произведение цифр $8 \times 5 = 40$. $85 \times 40 = 3400 \neq 255$. Ответ: 51