В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С проведена высота CD.

### Задача 1 Дано: $\triangle ABC$, $\angle C = 90^\circ$, $CD \perp AB$, $DA = 12$, $AC = 24$. Найти: $\angle B$. Решение: 1. В прямоугольном $\triangle ADC$ ($\angle ADC = 90^\circ$): $\cos A = \frac{DA}{AC} = \frac{12}{24} = 0.5$. 2. $\angle A = 60^\circ$. 3. В прямоугольном $\triangle ABC$: $\angle B = 90^\circ - \angle A = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$. **Ответ: 30°** ### Задача 2 Дано: $\triangle ABC$, $D$ — на продолжении $BC$ за $B$, $AB=DB$, $\angle ACB = 70^\circ$, $\angle BAC = 34^\circ$. Найти: $\angle BAD$. Решение: 1. $\angle ABC = 180^\circ - (70^\circ + 34^\circ) = 76^\circ$. 2. Углы $\angle ABC$ и $\angle ABD$ смежные: $\angle ABD = 180^\circ - 76^\circ = 104^\circ$. 3. В равнобедренном $\triangle ABD$ ($AB=DB$) углы при основании $AD$ равны: $\angle BAD = \angle BDA = (180^\circ - 104^\circ) / 2 = 38^\circ$. **Ответ: 38°** ### Задача 3 Дано: $\triangle ABC$, $AB$ — основание, $\angle C = \frac{1}{2}\angle A$. Найти: внешний угол при вершине $B$. Решение: 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: $\angle A = \angle B$. Пусть $\angle C = x$, тогда $\angle A = 2x$, $\angle B = 2x$. 2. Сумма углов треугольника: $x + 2x + 2x = 180^\circ \Rightarrow 5x = 180^\circ \Rightarrow x = 36^\circ$. 3. $\angle B = 2 \cdot 36^\circ = 72^\circ$. 4. Внешний угол при вершине $B$ равен $180^\circ - 72^\circ = 108^\circ$. **Ответ: 108°**