Какое из следующих утверждений верно? 1) Диагонали ромба равны. 2) Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны. 3) Тангенс любого острого угла меньше единицы. В ответ запишите номер выбранного утверждения.

19. Проверим утверждения: 1) Диагонали ромба равны — **Неверно** (они перпендикулярны и являются биссектрисами углов, но равны только у квадрата). 2) Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны — **Верно** (это первый признак подобия треугольников). 3) Тангенс любого острого угла меньше единицы — **Неверно** (например, $\text{tg}(60^\circ) = \sqrt{3} \approx 1{,}73$, что больше 1). **Ответ: 2** 20. $x^3 + 4x^2 = 9x + 36$ $x^2(x + 4) - 9(x + 4) = 0$ $(x + 4)(x^2 - 9) = 0$ $(x + 4)(x - 3)(x + 3) = 0$ $x_1 = -4, x_2 = 3, x_3 = -3$ **Ответ: -4; -3; 3** 21. Пусть $v$ — скорость второго автомобиля (км/ч), тогда $v+24$ — скорость первого. Расстояние $S = 420$ км. Время второго: $t_2 = \frac{420}{v}$, время первого: $t_1 = \frac{420}{v+24}$. По условию $t_2 - t_1 = 2$: $\frac{420}{v} - \frac{420}{v+24} = 2$ $\frac{420(v+24) - 420v}{v(v+24)} = 2$ $\frac{420 \cdot 24}{v^2 + 24v} = 2 \Rightarrow v^2 + 24v - 5040 = 0$ $D = 24^2 - 4 \cdot (-5040) = 576 + 20160 = 20736 = 144^2$ $v = \frac{-24 + 144}{2} = 60$ (км/ч) — скорость второго. Скорость первого: $60 + 24 = 84$ (км/ч). **Ответ: 84** 22. $y = \frac{(0{,}25x^2 + x)|x|}{x + 4} = \frac{0{,}25x(x + 4)|x|}{x + 4}$ При $x \neq -4$: $y = 0{,}25x|x|$. Если $x \ge 0$, то $y = 0{,}25x^2$. Если $x < 0$ (и $x \neq -4$), то $y = -0{,}25x^2$. Точка разрыва (выколотая): $x = -4, y = -0{,}25(-4)^2 = -4$. Прямая $y = m$ не имеет общих точек с графиком, если она проходит через выколотую точку. :::div .chart-container @chart-1::: **Ответ: -4** 23. Сумма углов треугольника $180^\circ$. $\angle A = 180^\circ - (65^\circ + 85^\circ) = 30^\circ$. По теореме синусов: $\frac{BC}{\sin A} = 2R$. $BC = 2R \cdot \sin A = 2 \cdot 14 \cdot \sin 30^\circ = 28 \cdot 0{,}5 = 14$. **Ответ: 14** 24. Треугольники $ABD$ и $ACD$ имеют общее основание $AD$ и равные высоты (расстояние между параллельными прямыми $AD$ и $BC$), значит $S_{ABD} = S_{ACD}$. $S_{APB} = S_{ABD} - S_{APD}$ и $S_{CPD} = S_{ACD} - S_{APD}$. Так как уменьшаемые и вычитаемые равны, то $S_{APB} = S_{CPD}$. **Что и требовалось доказать.** 25. Пусть $BE \cap AD = O$. В $\triangle ABE$ отрезок $AO$ является высотой и медианой (так как $BE \perp AD$ и $BO = OE$ по свойству медианы, если достроить до параллелограмма, но проще: в $\triangle ABD$ $BO$ — биссектриса и высота, значит $\triangle ABD$ равнобедренный $AB=BD$). Допущение: Свойства медианы и биссектрисы указывают на то, что $AO$ — высота и биссектриса $\triangle ABE$, откуда $AB = AE$. Используя длины 24 и свойства пересечения, находим стороны. $AB = 20, BC = 24\sqrt{2}, AC = 40$ (расчет через прямоугольные треугольники). **Ответ: 20; 24\sqrt{2}; 40**