Найдите: а) sin α и tg α, если cos α = 1/2; б) sin α и tg α, если cos α = 2/3; в) cos α и tg α, если sin α = √3/2; г) cos α и tg α, если sin α = 1/4.

Для решения используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ и формулу $\text{tg } \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$. Будем считать, что угол $\alpha$ острый (как обычно в задачах по геометрии), поэтому значения функций положительны. а) $\sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^2 \alpha} = \sqrt{1 - (\frac{1}{2})^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$; $\text{tg } \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\sqrt{3}}{2} : \frac{1}{2} = \sqrt{3}$. б) $\sin \alpha = \sqrt{1 - (\frac{2}{3})^2} = \sqrt{1 - \frac{4}{9}} = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$; $\text{tg } \alpha = \frac{\sqrt{5}}{3} : \frac{2}{3} = \frac{\sqrt{5}}{2}$. в) $\cos \alpha = \sqrt{1 - (\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{1 - \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$; $\text{tg } \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2} : \frac{1}{2} = \sqrt{3}$. г) $\cos \alpha = \sqrt{1 - (\frac{1}{4})^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{16}} = \sqrt{\frac{15}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{4}$; $\text{tg } \alpha = \frac{1}{4} : \frac{\sqrt{15}}{4} = \frac{1}{\sqrt{15}} = \frac{\sqrt{15}}{15}$. **Ответ:** а) $\frac{\sqrt{3}}{2}, \sqrt{3}$; б) $\frac{\sqrt{5}}{3}, \frac{\sqrt{5}}{2}$; в) $\frac{1}{2}, \sqrt{3}$; г) $\frac{\sqrt{15}}{4}, \frac{\sqrt{15}}{15}$.