В трапеции ABCD с основаниями AD = 10 см и BC = 6 см проведены диагонали. На диагонали AC отмечена точка K так, что CK : KA = 1 : 3. Через точку K проведена прямая, параллельная основаниям, которая пересекает сторону CD в точке M, а диагональ BD – в точке N. Найдите длину отрезка NK.

1. Рассмотрим треугольник $ABC$. Прямая $KN$ параллельна основаниям, значит, она параллельна стороне $BC$. По теореме Фалеса (или через подобие треугольников $AKN$ и $ABC$) отрезки на сторонах пропорциональны. 2. Нам дано отношение $CK : KA = 1 : 3$. Это значит, что если $CK = x$, то $KA = 3x$, а вся диагональ $AC = CK + KA = 4x$. 3. Рассмотрим подобие треугольников $\triangle AKN \sim \triangle ABC$ (по двум углам: $\angle A$ — общий, $\angle AKN = \angle ACB$ как соответственные при параллельных прямых). 4. Коэффициент подобия $k = \frac{AK}{AC} = \frac{3x}{4x} = \frac{3}{4}$. 5. Из подобия следует: $\frac{NK}{BC} = \frac{AK}{AC} \Rightarrow NK = BC \cdot \frac{3}{4}$. 6. Подставим значение $BC = 6$ см: $NK = 6 \cdot \frac{3}{4} = \frac{18}{4} = 4,5$ см. **Ответ: 4,5 см**.