Прямая, лежащая в одной из граней двугранного угла, параллельна его ребру. Найдите величину двугранного угла, если расстояние от данной прямой до второй грани вдвое меньше расстояния от данной прямой до ребра угла.

1. Пусть $a$ — прямая в одной из граней двугранного угла, $c$ — ребро угла. По условию $a \parallel c$. Проведём плоскость, перпендикулярную ребру $c$. Она пересечёт грани угла по двум лучам, образующим линейный угол $\alpha$, а прямую $a$ — в точке $A$. Расстояние от прямой $a$ до второй грани — это перпендикуляр $AB$ к этой грани. Расстояние от $a$ до ребра $c$ — это отрезок $AC$ в плоскости грани. В прямоугольном треугольнике $ABC$ (где $\angle B = 90^{\circ}$): $\sin \alpha = \frac{AB}{AC}$. По условию $AB = \frac{1}{2} AC$, значит $\sin \alpha = \frac{1}{2}$. $\alpha = 30^{\circ}$. **Ответ: 30°.** 2. Рассмотрим треугольники $ABC$ и $ADC$ с общим основанием $AC = 12$ см. Проведём высоты $BK$ и $DK$ к основанию $AC$. Так как треугольники равнобедренные, высоты попадут в середину $AC$, то есть $K$ — середина $AC$, $AK = KC = 6$ см. Из прямоугольных треугольников по теореме Пифагора: $BK = \sqrt{AB^2 - AK^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = 8$ (см); $DK = \sqrt{AD^2 - AK^2} = \sqrt{(\sqrt{61})^2 - 6^2} = \sqrt{61 - 36} = 5$ (см). Угол $\angle BKD$ — линейный угол двугранного угла $BACD$, по условию $\angle BKD = 60^{\circ}$. По теореме косинусов для $\triangle BKD$: $BD^2 = BK^2 + DK^2 - 2 \cdot BK \cdot DK \cdot \cos 60^{\circ} = 8^2 + 5^2 - 2 \cdot 8 \cdot 5 \cdot 0,5 = 64 + 25 - 40 = 49$. $BD = \sqrt{49} = 7$ (см). **Ответ: 7 см.**