Вариант 1 №1. Дано: a||b, c — секущая, ∠1 + ∠2 = 114° (рис.1). Найти все образовавшиеся углы. №2. Дано: ∠1 = ∠2, ∠3 = 98° (рис. 2). Найти: ∠4. №3. Дано: ∠1 = ∠2, ∠3 в 8 раз меньше ∠4 (рис. 4). Найти: ∠3, ∠4.

1. Так как $a \parallel b$ и $c$ — секущая, то $\angle 1$ и $\angle 2$ являются внутренними накрест лежащими углами. По свойству параллельных прямых: $\angle 1 = \angle 2$. Из условия $\angle 1 + \angle 2 = 114^{\circ}$ следует: $\angle 1 = \angle 2 = 114^{\circ} : 2 = 57^{\circ}$. Вертикальные углы равны: $\angle 1 = \angle 4 = 57^{\circ}$, $\angle 2 = \angle 7 = 57^{\circ}$. Смежные углы в сумме дают $180^{\circ}$: $\angle 3 = 180^{\circ} - \angle 1 = 180^{\circ} - 57^{\circ} = 123^{\circ}$. Соответственные и вертикальные углы: $\angle 3 = \angle 5 = \angle 6 = \angle 8 = 123^{\circ}$. Ответ: $\angle 1, \angle 2, \angle 4, \angle 7 = 57^{\circ}$; $\angle 3, \angle 5, \angle 6, \angle 8 = 123^{\circ}$. 2. Углы $\angle 1$ и $\angle 2$ — внутренние накрест лежащие при прямых $n, m$ и секущей $BC$. Так как по условию $\angle 1 = \angle 2$, то прямые $n$ и $m$ параллельны ($n \parallel m$). Углы $\angle 3$ и $\angle 4$ — соответственные при параллельных прямых $n, m$ и секущей $AB$. По свойству параллельных прямых соответственные углы равны: $\angle 4 = \angle 3 = 98^{\circ}$. Ответ: $98^{\circ}$. 3. Углы $\angle 1$ и $\angle 2$ — внутренние накрест лежащие при прямых $a, b$ и секущей $AB$. Так как $\angle 1 = \angle 2$, то прямые $a$ и $b$ параллельны ($a \parallel b$). Углы $\angle 3$ и $\angle 4$ — внутренние односторонние при параллельных прямых $a, b$ и секущей $AC$. Их сумма равна $180^{\circ}$: $\angle 3 + \angle 4 = 180^{\circ}$. Пусть $\angle 3 = x$, тогда $\angle 4 = 8x$. $x + 8x = 180^{\circ} \Rightarrow 9x = 180^{\circ} \Rightarrow x = 20^{\circ}$. $\angle 3 = 20^{\circ}$, $\angle 4 = 20^{\circ} \cdot 8 = 160^{\circ}$. Ответ: $\angle 3 = 20^{\circ}, \angle 4 = 160^{\circ}$.