Контрольная работа. Подобные треугольники и свойства сторон прямоугольного треугольника. Вариант 2. Решить задачи 1-4.

1. Рассмотрим $\triangle AOC$ и $\triangle BOM$. Так как $AC \parallel BM$, то $\angle CAO = \angle MBO$ и $\angle ACO = \angle BMO$ как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых секущими $AB$ и $CM$. Следовательно, $\triangle AOC \sim \triangle BOM$ по двум углам. Из подобия следует пропорциональность сторон: $\frac{AC}{BM} = \frac{CO}{MO}$. $\frac{15}{3} = \frac{10}{MO} \Rightarrow 5 = \frac{10}{MO} \Rightarrow MO = 2$ см. $CM = CO + MO = 10 + 2 = 12$ см. **Ответ: 12 см.** 2. Так как $KP \parallel BC$, то $\triangle AKP \sim \triangle ABC$ по двум углам ($\angle A$ — общий, $\angle AKP = \angle ABC$ как соответственные). Коэффициент подобия $k = \frac{AK}{AB} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$. Найдем стороны $\triangle AKP$: $AP = AC \cdot k = 15 \cdot \frac{1}{4} = 3,75$ см. $KP = BC \cdot k = 8 \cdot \frac{1}{4} = 2$ см. Периметр $P_{AKP} = AK + AP + KP = 4 + 3,75 + 2 = 9,75$ см. **Ответ: 9,75 см.** 3. В прямоугольном $\triangle ABC$ найдем катет $BC$ по теореме Пифагора: $BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3$ см. $\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{3}{5} = 0,6$; $\cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{4}{5} = 0,8$; $\text{tg} A = \frac{BC}{AC} = \frac{3}{4} = 0,75$. $\sin B = \frac{AC}{AB} = \frac{4}{5} = 0,8$; $\cos B = \frac{BC}{AB} = \frac{3}{5} = 0,6$; $\text{tg} B = \frac{AC}{BC} = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}$. **Ответ: 0,6; 0,8; 0,75; 0,8; 0,6; 1\frac{1}{3}.** 4. По свойствам высоты в прямоугольном треугольнике, проведенной к гипотенузе: $BE^2 = AE \cdot CE = 15 \cdot 20 = 300 \Rightarrow BE = \sqrt{300} = 10\sqrt{3}$ см. $AB = \sqrt{AE \cdot AC} = \sqrt{15 \cdot (15 + 20)} = \sqrt{15 \cdot 35} = \sqrt{525} = 5\sqrt{21}$ см. $BC = \sqrt{CE \cdot AC} = \sqrt{20 \cdot 35} = \sqrt{700} = 10\sqrt{7}$ см. **Ответ: 10\sqrt{3} см; 5\sqrt{21} см; 10\sqrt{7} см.**