Самостоятельная работа № 14. Расстояние от точки до прямой. Построение треугольника по трем элементам. Вариант 1. В треугольнике ABC угол C равен 30°, AC = 10 см, BC = 8 см. Через вершину A проведена прямая a, параллельная BC. Найдите: а) расстояние от точки B до прямой AC; б) расстояние между прямыми a и BC. 2. Дан отрезок. Постройте равносторонний треугольник, у которого сторона в два раза меньше этого отрезка. 3. Даны неразвернутый угол и отрезок. Постройте треугольник, у которого одна сторона в два раза больше другой и равна данному отрезку, а угол, заключенный между ними, равен данному.

1. Рассмотрим треугольник $ABC$, где $\angle C = 30^{\circ}$, $AC = 10$ см, $BC = 8$ см. а) Расстоянием от точки $B$ до прямой $AC$ является перпендикуляр $BH$, опущенный из точки $B$ на прямую $AC$ (или её продолжение). В прямоугольном треугольнике $BHC$ (где $\angle H = 90^{\circ}$): $BH = BC \cdot \sin(C) = 8 \cdot \sin(30^{\circ}) = 8 \cdot 0,5 = 4$ см. б) Расстояние между параллельными прямыми $a$ (проходящей через $A$) и $BC$ равно длине перпендикуляра, опущенного из любой точки одной прямой на другую. Проведём перпендикуляр $AK$ из точки $A$ к прямой $BC$. В прямоугольном треугольнике $AKC$ (где $\angle K = 90^{\circ}$): $AK = AC \cdot \sin(C) = 10 \cdot \sin(30^{\circ}) = 10 \cdot 0,5 = 5$ см. **Ответ: а) 4 см; б) 5 см.** 2. Алгоритм построения: 1) Разделите данный отрезок пополам с помощью циркуля и линейки (постройте два круга с центрами в концах отрезка и радиусом больше половины, проведите прямую через точки их пересечения). 2) Возьмите циркулем полученную половину отрезка — это сторона искомого треугольника. 3) Отложите на плоскости отрезок этой длины ($A_1B_1$). 4) Из точек $A_1$ и $B_1$ проведите дуги радиусом, равным стороне треугольника. Точка их пересечения — $C_1$. 5) Соедините точки. Треугольник $A_1B_1C_1$ — равносторонний. 3. Алгоритм построения: 1) На одной из сторон данного угла отложите данный отрезок $x$ от вершины. 2) На другой стороне угла отложите отрезок в два раза больше данного ($2x$). 3) Соедините концы отложенных отрезков. Полученный треугольник удовлетворяет условиям: две стороны соотносятся как 1 к 2, а угол между ними равен данному.