1. Решить уравнения: а) sin(4x - π/4) = √2/2

1. Решить уравнения: а) $\sin(4x - \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ $4x - \frac{\pi}{4} = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$ 1) $4x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi n \Rightarrow 4x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \Rightarrow x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$ 2) $4x - \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n \Rightarrow 4x = 2\pi n \Rightarrow x = \frac{\pi n}{2}$ Ответ: $\frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}; \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$ б) $5^{(x^2-6)} = 25^{(15)}$ $5^{(x^2-6)} = (5^2)^{(15)} = 5^{30}$ $x^2 - 6 = 30 \Rightarrow x^2 = 36 \Rightarrow x = \pm 6$ Ответ: $\pm 6$ в) $(\log_3 x)^2 - 4\log_3 x + 3 = 0$ Пусть $\log_3 x = t$, тогда $t^2 - 4t + 3 = 0$ По теореме Виета $t_1=1, t_2=3$ 1) $\log_3 x = 1 \Rightarrow x = 3$ 2) $\log_3 x = 3 \Rightarrow x = 27$ Ответ: $3; 27$ 2. Решить неравенства: а) $(\frac{1}{2})^{(4x-8)} < 16^{(x+1)}$ $(2^{-1})^{(4x-8)} < (2^4)^{(x+1)}$ $2^{(-4x+8)} < 2^{(4x+4)}$ $-4x + 8 < 4x + 4 \Rightarrow 4 < 8x \Rightarrow x > 0,5$ Ответ: $(0,5; +\infty)$ б) $\log_2(5x + 2) \le 4$ Область определения: $5x + 2 > 0 \Rightarrow x > -0,4$ $\log_2(5x + 2) \le \log_2(16)$ $5x + 2 \le 16 \Rightarrow 5x \le 14 \Rightarrow x \le 2,8$ С учетом области определения: $(-0,4; 2,8]$ Ответ: $(-0,4; 2,8]$ 3. Исследовать $f(x) = 6x^2 - 2x^3 + 3$: $f'(x) = 12x - 6x^2 = 6x(2-x)$ $f'(x) = 0 \Rightarrow x_1=0, x_2=2$ Точки: $(-\infty, 0)$ $f' < 0$ (убыв), $(0, 2)$ $f' > 0$ (возр), $(2, +\infty)$ $f' < 0$ (убыв). $x_{min}=0, f(0)=3$; $x_{max}=2, f(2)=24 - 16 + 3 = 11$. 4. НСЗ $f(x) = 3x^2 - x^3 - 5$ на $[1; 3]$: $f'(x) = 6x - 3x^2 = 3x(2-x) = 0 \Rightarrow x=0, x=2$. В отрезок $[1; 3]$ попадает только $x=2$. $f(1) = 3 - 1 - 5 = -3$ $f(2) = 12 - 8 - 5 = -1$ $f(3) = 27 - 27 - 5 = -5$ Ответ: $\max = -1$ (при $x=2$), $\min = -5$ (при $x=3$). 5. $f(x) = 5x + 3x^2$, $F(x) = \int (5x + 3x^2) dx = 2,5x^2 + x^3 + C$ $P(-2; 6): 6 = 2,5(-2)^2 + (-2)^3 + C \Rightarrow 6 = 10 - 8 + C \Rightarrow 6 = 2 + C \Rightarrow C = 4$ Ответ: $F(x) = x^3 + 2,5x^2 + 4$ 6. Пирамида: сторона $a=10$, апофема $l=13$. Площадь полной поверхности $S = S_{осн} + S_{бок}$ $S_{осн} = a^2 = 100$. $S_{бок} = 4 \cdot (\frac{1}{2} \cdot a \cdot l) = 2 \cdot 10 \cdot 13 = 260$. $S = 100 + 260 = 360$ см$^2$. Ответ: $360$ см$^2$. 7. Вероятность: Секция 1: 5 нов, 5 стар. $P(Н_1) = 0,5; P(С_1) = 0,5$. Секция 2: 7 нов, 3 стар. $P(Н_2) = 0,7; P(С_2) = 0,3$. а) Обе новые: $0,5 \cdot 0,7 = 0,35$. б) Хотя бы один старый: $1 - P(обе новые) = 1 - 0,35 = 0,65$. Ответ: а) $0,35$; б) $0,65$.