1. Решить уравнения: а) sin(4x - π/4) = √2/2

1. Решить уравнения: а) $\sin(4x - \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ $4x - \frac{\pi}{4} = (-1)^k \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$ $4x = \frac{\pi}{4} + (-1)^k \frac{\pi}{4} + \pi k$ $x = \frac{\pi}{16} + (-1)^k \frac{\pi}{16} + \frac{\pi k}{4}, k \in \mathbb{Z}$ б) $5^{(x^2-6)} = 25^{(15)}$ $5^{(x^2-6)} = (5^2)^{15} = 5^{30}$ $x^2 - 6 = 30$ $x^2 = 36$ $x = \pm 6$ в) $(\log_3 x)^2 - 4\log_3 x + 3 = 0$ Пусть $t = \log_3 x$. Тогда $t^2 - 4t + 3 = 0$. По теореме Виета $t_1 = 1, t_2 = 3$. $\log_3 x = 1 \Rightarrow x = 3^1 = 3$ $\log_3 x = 3 \Rightarrow x = 3^3 = 27$ Ответ: 3; 27. 2. Решить неравенства: а) $(\frac{1}{2})^{(4x-8)} < 16^{(x+1)}$ $(2^{-1})^{(4x-8)} < (2^4)^{(x+1)}$ $2^{(-4x+8)} < 2^{(4x+4)}$ $-4x + 8 < 4x + 4$ $-8x < -4$ $x > 0,5$ б) $\log_2(5x + 2) \le 4$ ОДЗ: $5x + 2 > 0 \Rightarrow x > -0,4$ $5x + 2 \le 2^4 = 16$ $5x \le 14$ $x \le 2,8$ Ответ: $(-0,4; 2,8]$. 3. Исследовать функцию $f(x) = 6x^2 - 2x^3 + 3$ на монотонность и экстремум: $f'(x) = 12x - 6x^2 = 6x(2 - x)$ Приравниваем производную к нулю: $6x(2-x) = 0 \Rightarrow x_1 = 0, x_2 = 2$. Интервалы: $(-\infty; 0): f'(x) < 0$ (функция убывает) $(0; 2): f'(x) > 0$ (функция возрастает) $(2; +\infty): f'(x) < 0$ (функция убывает) $x=0$ — точка минимума, $f(0) = 3$ $x=2$ — точка максимума, $f(2) = 6(4) - 2(8) + 3 = 24 - 16 + 3 = 11$ 4. Наибольшее и наименьшее значения $f(x) = 3x^2 - x^3 - 5$ на $[1; 3]$: $f'(x) = 6x - 3x^2 = 3x(2 - x)$ Критические точки: $x=0$ (не входит в интервал), $x=2$ (входит). $f(1) = 3 - 1 - 5 = -3$ $f(2) = 3(4) - 8 - 5 = 12 - 8 - 5 = -1$ $f(3) = 3(9) - 27 - 5 = 27 - 27 - 5 = -5$ Ответ: $f_{max} = -1$, $f_{min} = -5$. 5. Первообразная для $f(x) = 5x + 3x^2$ через $P(-2; 6)$: $F(x) = \int (5x + 3x^2) dx = \frac{5x^2}{2} + x^3 + C$ $6 = \frac{5(-2)^2}{2} + (-2)^3 + C$ $6 = \frac{20}{2} - 8 + C$ $6 = 10 - 8 + C \Rightarrow C = 4$ Ответ: $F(x) = 2,5x^2 + x^3 + 4$. 6. Пирамида: Площадь основания $S_{осн} = a^2 = 10^2 = 100 \text{ см}^2$. Площадь боковой поверхности $S_{бок} = \frac{1}{2} P L$, где $P = 4a = 40 \text{ см}$, $L = 13 \text{ см}$. $S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot 40 \cdot 13 = 20 \cdot 13 = 260 \text{ см}^2$. $S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 100 + 260 = 360 \text{ см}^2$. 7. Вероятность: Всего 10 книг в 1-й секции, 10 книг во 2-й секции. а) Обе новые: $P(A) = \frac{5}{10} \cdot \frac{7}{10} = 0,5 \cdot 0,7 = 0,35$ б) Хотя бы один старый: $P(B) = 1 - P(\text{обе новые}) = 1 - 0,35 = 0,65$.