Основанием пирамиды является параллелограмм, стороны которого равны 20 см и 36 см, а площадь равна 360 см². Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 12 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Question

Вопрос:

Основанием пирамиды является параллелограмм, стороны которого равны 20 см и 36 см, а площадь равна 360 см². Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 12 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

1. Основанием пирамиды является параллелограмм со сторонами $a = 20$ см, $b = 36$ см и площадью $S_{осн} = 360$ см². Высота пирамиды $H = 12$ см проецируется в точку пересечения диагоналей $O$. Найдем высоты параллелограмма $h_a$ и $h_b$: $h_a = S_{осн} / a = 360 / 20 = 18$ см. $h_b = S_{осн} / b = 360 / 36 = 10$ см. Так как высота пирамиды проецируется в центр параллелограмма, высоты боковых граней (апофемы) $m$ и $n$ проводятся к сторонам $a$ и $b$. Расстояние от точки $O$ до сторон равно половине соответствующей высоты параллелограмма: $r_a = h_a / 2 = 18 / 2 = 9$ см. $r_b = h_b / 2 = 10 / 2 = 5$ см. Найдем апофемы граней по теореме Пифагора: $m = \sqrt{H^2 + r_a^2} = \sqrt{12^2 + 9^2} = \sqrt{144 + 81} = \sqrt{225} = 15$ см (к стороне $a$). $n = \sqrt{H^2 + r_b^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$ см (к стороне $b$). Площадь боковой поверхности: $S_{бок} = 2 \cdot (\frac{1}{2} \cdot a \cdot n) + 2 \cdot (\frac{1}{2} \cdot b \cdot m) = a \cdot n + b \cdot m = 20 \cdot 13 + 36 \cdot 15 = 260 + 540 = 800$ см². **Ответ: 800 см²**. 2. Основанием пирамиды является параллелограмм со сторонами $a = 5$ м, $b = 4$ м и меньшей диагональю $d = 3$ м. Высота $H = 2$ м. Заметим, что в треугольнике со сторонами $3, 4, 5$ выполняется равенство $3^2 + 4^2 = 5^2$ ($9 + 16 = 25$). Значит, этот треугольник прямоугольный, и угол между сторонами $3$ и $4$ равен $90^\circ$. Диагональ $3$ перпендикулярна стороне $4$. Площадь основания: $S_{осн} = 2 \cdot S_{\triangle} = 2 \cdot (\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4) = 12$ м². Высоты параллелограмма: $h_a = S_{осн} / a = 12 / 5 = 2,4$ м. $h_b = S_{осн} / b = 12 / 4 = 3$ м. Расстояния от центра $O$ до сторон: $r_a = 2,4 / 2 = 1,2$ м. $r_b = 3 / 2 = 1,5$ м. Апофемы: $m = \sqrt{2^2 + 1,2^2} = \sqrt{4 + 1,44} = \sqrt{5,44} \approx 2,33$ м. $n = \sqrt{2^2 + 1,5^2} = \sqrt{4 + 2,25} = \sqrt{6,25} = 2,5$ м. Площадь боковой поверхности: $S_{бок} = a \cdot n + b \cdot m = 5 \cdot 2,5 + 4 \cdot \sqrt{5,44} = 12,5 + 4\sqrt{5,44}$ м². $S_{полн} = S_{бок} + S_{осн} = 12,5 + 4\sqrt{5,44} + 12 = 24,5 + 4\sqrt{5,44}$ м². **Ответ: 24,5 + 4\sqrt{5,44} м²**.

Ответ ассистента

Похожие задачи

Другие решения